Номер 72, страница 46 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

72. Докажите, что если два треугольника имеют по углу, сумма которых равна $180^\circ$, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы, то есть если $\angle C_1AB_1 + \angle CAB = 180^\circ$ (рис. 77), то

$\frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{b_1c_1}{bc}$

Рис. 77

Для доказательства воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$.

Выразим площадь треугольника $ABC$. Стороны, заключающие угол $\angle CAB$, это $AC$ и $AB$, длины которых равны $b$ и $c$ соответственно.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle CAB) = \frac{1}{2} bc \sin(\angle CAB)$.

Аналогично выразим площадь треугольника $AB_1C_1$. Стороны, заключающие угол $\angle C_1AB_1$, это $AC_1$ и $AB_1$, длины которых равны $b_1$ и $c_1$ соответственно.

$S_{AB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot AC_1 \cdot \sin(\angle C_1AB_1) = \frac{1}{2} b_1c_1 \sin(\angle C_1AB_1)$.

Теперь найдем отношение площадей этих двух треугольников, разделив одно выражение на другое:

$\frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} b_1c_1 \sin(\angle C_1AB_1)}{\frac{1}{2} bc \sin(\angle CAB)} = \frac{b_1c_1}{bc} \cdot \frac{\sin(\angle C_1AB_1)}{\sin(\angle CAB)}$.

По условию задачи, сумма углов $\angle C_1AB_1 + \angle CAB = 180^\circ$. Такие углы называются смежными.

Из этого условия следует, что $\angle C_1AB_1 = 180^\circ - \angle CAB$.

Вспомним тригонометрическое свойство синусов: синус смежных углов равны, то есть $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

Применив это свойство к нашим углам, получаем:

$\sin(\angle C_1AB_1) = \sin(180^\circ - \angle CAB) = \sin(\angle CAB)$.

Подставим полученное равенство синусов в формулу для отношения площадей:

$\frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{b_1c_1}{bc} \cdot \frac{\sin(\angle CAB)}{\sin(\angle CAB)}$.

Поскольку для невырожденного треугольника угол не равен $0^\circ$ или $180^\circ$, его синус не равен нулю, и мы можем сократить дробь на $\sin(\angle CAB)$. В результате получаем:

$\frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{b_1c_1}{bc}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Окончательная формула: $\frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{b_1c_1}{bc}$.