Номер 75, страница 47 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

75. Используя теорему о площадях треугольников с равным углом, докажите, что в трапеции $ABCD$ $(AD \parallel BC)$, где $O$ — точка пересечения диагоналей, $S_{ABO} = S_{DCO}$.

Для доказательства равенства площадей $S_{ABO} = S_{DCO}$ в трапеции ABCD, где O — точка пересечения диагоналей, воспользуемся теоремой о площадях треугольников с равным углом. Эта теорема гласит, что отношение площадей двух треугольников, имеющих по равному углу, равно отношению произведений сторон, заключающих этот угол.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle DCO$. Углы $\angle AOB$ и $\angle DOC$ равны как вертикальные. Обозначим их как $\alpha$.

Согласно теореме, отношение площадей этих треугольников равно:

$\frac{S_{ABO}}{S_{DCO}} = \frac{\frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin\alpha}{\frac{1}{2} DO \cdot CO \cdot \sin\alpha} = \frac{AO \cdot BO}{DO \cdot CO}$.

Теперь используем свойство трапеции. Так как основания AD и BC параллельны ($AD \parallel BC$), то треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$, образованные диагоналями и основаниями, подобны. Подобие следует из равенства накрест лежащих углов при параллельных прямых AD и BC и секущих AC и BD: $\angle OCB = \angle OAD$ и $\angle OBC = \angle ODA$.

Из подобия треугольников $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO}$.

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), преобразуем это соотношение в равенство:

$AO \cdot BO = DO \cdot CO$.

Наконец, подставим полученное равенство в выражение для отношения площадей:

$\frac{S_{ABO}}{S_{DCO}} = \frac{AO \cdot BO}{DO \cdot CO} = 1$.

Поскольку отношение площадей равно единице, сами площади равны: $S_{ABO} = S_{DCO}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $S_{ABO} = S_{DCO}$ доказано.