Номер 82, страница 49 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

82. $ABCD$ — прямоугольник, $AK = KB$, $AM = 2MD$ (рис. 86). Найдите $\frac{S_{KBE}}{S_{ABCD}}$.

Рис. 86

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль стороны $AD$, а ось $Oy$ — вдоль стороны $AB$. Обозначим длину стороны $AD$ как $a$, а длину стороны $AB$ как $b$.

В этой системе координат вершины прямоугольника будут иметь следующие координаты: $A(0,0)$, $B(0,b)$, $C(a,b)$, $D(a,0)$.

Найдем координаты точек $K$ и $M$.
По условию, точка $K$ является серединой стороны $AB$. Так как $A(0,0)$ и $B(0,b)$, то координаты точки $K$ равны $(\frac{0+0}{2}, \frac{0+b}{2})$, то есть $K(0, \frac{b}{2})$.
По условию, $AM = 2MD$. Точка $M$ лежит на отрезке $AD$. Длина отрезка $AD$ равна $a$. Имеем $AD = AM + MD = 2MD + MD = 3MD$. Отсюда $MD = \frac{a}{3}$ и $AM = \frac{2a}{3}$. Поскольку точка $M$ лежит на оси $Ox$, ее координаты $M(\frac{2a}{3}, 0)$.

Точка $E$ является точкой пересечения отрезков $BM$ и $CK$. Для нахождения ее координат составим уравнения прямых, содержащих эти отрезки.
Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.
Для прямой $BM$, проходящей через точки $B(0,b)$ и $M(\frac{2a}{3}, 0)$:
$\frac{x-0}{2a/3 - 0} = \frac{y-b}{0-b} \Rightarrow \frac{x}{2a/3} = \frac{y-b}{-b} \Rightarrow -\frac{3bx}{2a} = y-b \Rightarrow y = -\frac{3b}{2a}x + b$.
Для прямой $CK$, проходящей через точки $C(a,b)$ и $K(0, \frac{b}{2})$:
$\frac{x-0}{a-0} = \frac{y-b/2}{b-b/2} \Rightarrow \frac{x}{a} = \frac{y-b/2}{b/2} \Rightarrow \frac{bx}{2a} = y - \frac{b}{2} \Rightarrow y = \frac{b}{2a}x + \frac{b}{2}$.
Чтобы найти координаты точки пересечения $E(x_E, y_E)$, приравняем правые части уравнений:
$-\frac{3b}{2a}x_E + b = \frac{b}{2a}x_E + \frac{b}{2}$
$b - \frac{b}{2} = \frac{b}{2a}x_E + \frac{3b}{2a}x_E$
$\frac{b}{2} = \frac{4b}{2a}x_E$
Так как $b \ne 0$, разделим обе части на $b$:
$\frac{1}{2} = \frac{2}{a}x_E \Rightarrow x_E = \frac{a}{4}$.
Найдем $y_E$, подставив $x_E$ в уравнение прямой $CK$:
$y_E = \frac{b}{2a}(\frac{a}{4}) + \frac{b}{2} = \frac{b}{8} + \frac{4b}{8} = \frac{5b}{8}$.
Таким образом, координаты точки $E$ равны $(\frac{a}{4}, \frac{5b}{8})$.

Теперь вычислим площади.
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна:
$S_{ABCD} = AD \cdot AB = a \cdot b = ab$.
Площадь треугольника $KBE$ можно найти, используя его вершины $K(0, \frac{b}{2})$, $B(0,b)$ и $E(\frac{a}{4}, \frac{5b}{8})$. Основание $KB$ лежит на оси $Oy$, и его длина равна $b - \frac{b}{2} = \frac{b}{2}$. Высота, проведенная из вершины $E$ к прямой $AB$ (оси $Oy$), равна абсциссе точки $E$, то есть $h = x_E = \frac{a}{4}$.
Площадь треугольника $KBE$ равна:
$S_{KBE} = \frac{1}{2} \cdot KB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{a}{4} = \frac{ab}{16}$.

Наконец, найдем искомое отношение площадей:
$\frac{S_{KBE}}{S_{ABCD}} = \frac{ab/16}{ab} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$