Номер 85, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

85. Используя результат задачи 84, докажите геометрически, что

$CE \le CK \le DO \le KD$, откуда $\frac{2ab}{a+b} \le \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$. Рассмотрите, при каких $a$ и $b$ нестрогие неравенства обращаются в равенства.

Для доказательства воспользуемся геометрической интерпретацией средних величин, основанной на построении с полуокружностью. Предполагается, что эта конструкция является результатом задачи 84.

Геометрическое доказательство неравенства и связь с средними величинами

Рассмотрим следующую геометрическую конструкцию.
1. На прямой отложим отрезки $AK=a$ и $KB=b$, лежащие на одном отрезке $AB$. Таким образом, длина диаметра $AB$ равна $a+b$.
2. Построим на отрезке $AB$ как на диаметре полуокружность. Пусть $O$ — центр этой полуокружности (середина $AB$).
3. Из точки $K$ восстановим перпендикуляр к диаметру $AB$ до пересечения с полуокружностью в точке $C$.
4. Проведем радиус $OC$.
5. Из точки $K$ опустим перпендикуляр на радиус $OC$. Пусть $E$ — основание этого перпендикуляра.
6. Отметим на полуокружности точку $D$ так, что радиус $OD$ перпендикулярен диаметру $AB$.

Теперь найдем длины отрезков $CE, CK, DO, KD$ в терминах $a$ и $b$.

• Отрезок DO (среднее арифметическое):
  $DO$ является радиусом полуокружности. Диаметр $AB = a+b$, следовательно, радиус $DO = \frac{a+b}{2}$. Это среднее арифметическое чисел $a$ и $b$.
  $DO = \frac{a+b}{2}$
• Отрезок CK (среднее геометрическое):
  Отрезок $CK$ является высотой в прямоугольном треугольнике $ACB$ (угол $C$ опирается на диаметр), опущенной на гипотенузу. По свойству высоты, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу.
  $CK^2 = AK \cdot KB = a \cdot b$, откуда $CK = \sqrt{ab}$. Это среднее геометрическое.
  $CK = \sqrt{ab}$
• Отрезок KD (среднее квадратичное):
  Рассмотрим прямоугольный треугольник $OKD$ (угол $O$ прямой по построению). Его катеты $OK$ и $OD$.
  Длина $OD$ — это радиус, $OD = \frac{a+b}{2}$.
  Длина $OK = |AK - AO| = |a - \frac{a+b}{2}| = |\frac{a-b}{2}|$.
  По теореме Пифагора, $KD^2 = OK^2 + OD^2 = \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{a^2-2ab+b^2}{4} + \frac{a^2+2ab+b^2}{4} = \frac{2a^2+2b^2}{4} = \frac{a^2+b^2}{2}$.
  Отсюда $KD = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$. Это среднее квадратичное.
  $KD = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$
• Отрезок CE (среднее гармоническое):
  Рассмотрим прямоугольный треугольник $OKC$ (угол $K$ прямой по построению). Его катеты $OK$ и $KC$, гипотенуза $OC$ (является радиусом, $OC = \frac{a+b}{2}$).
  Точка $E$ — основание высоты, опущенной из $K$ на гипотенузу $OC$. Из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике известно, что квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу: $KC^2 = CE \cdot CO$.
  Подставим известные значения: $ab = CE \cdot \frac{a+b}{2}$.
  Отсюда $CE = \frac{2ab}{a+b}$. Это среднее гармоническое.
  $CE = \frac{2ab}{a+b}$

Теперь докажем геометрически неравенства $CE \le CK \le DO \le KD$.
1. $CE \le CK$: В прямоугольном треугольнике $OKC$ имеем $CK^2=CE \cdot CO$. Отсюда $CE = \frac{CK^2}{CO}$. Неравенство $CE \le CK$ равносильно $\frac{CK^2}{CO} \le CK$, что (при $CK>0$) эквивалентно $CK \le CO$. В треугольнике $OKC$ катет $CK$ не может быть больше гипотенузы $CO$. Следовательно, $CK \le CO$, а значит и $CE \le CK$.
2. $CK \le DO$: $DO$ — это радиус полуокружности, как и $CO$. Таким образом, неравенство равносильно $CK \le CO$. Как уже было показано, катет $CK$ не больше гипотенузы $CO$ в прямоугольном треугольнике $OKC$. Следовательно, $CK \le DO$.
3. $DO \le KD$: $DO$ — это радиус $OD$. В прямоугольном треугольнике $OKD$ катет $OD$ не может быть больше гипотенузы $KD$. Следовательно, $DO \le KD$.

Таким образом, мы доказали цепочку неравенств $CE \le CK \le DO \le KD$. Подставляя найденные выражения для длин этих отрезков, получаем неравенство для средних:
$ \frac{2ab}{a+b} \le \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} $.

Рассмотрение случаев, когда нестрогие неравенства обращаются в равенства

Все три неравенства в цепочке обращаются в равенства одновременно. Рассмотрим, при каком условии это происходит.
1. Равенство $CE = CK$ достигается, когда $CK = CO$. Это означает, что в прямоугольном треугольнике $OKC$ катет равен гипотенузе. Такое возможно только если второй катет $OK$ равен нулю. $OK = |\frac{a-b}{2}|=0$, что означает $a=b$.
2. Равенство $CK = DO$ достигается, когда $CK = CO$. Как и в предыдущем пункте, это означает, что $OK=0$, то есть $a=b$.
3. Равенство $DO = KD$ достигается, когда в прямоугольном треугольнике $OKD$ катет $OD$ равен гипотенузе $KD$. Это возможно только если второй катет $OK$ равен нулю. $OK = 0$, то есть $a=b$.
Таким образом, все нестрогие неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда $a=b$. В этом случае точка $K$ совпадает с центром $O$, и все четыре величины равны $a$.

Ответ: Равенства в нестрогих неравенствах достигаются при $a=b$.