Номер 83, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

83. В трапеции проведены четыре отрезка с концами на боковых сторонах трапеции, параллельные ее основаниям: $k$ — отрезок, проходящий через точку $O$ пересечения диагоналей трапеции; $p$ — отрезок, который делит трапецию на две подобные трапеции (соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны), $m$ — средняя линия трапеции, $s$ — отрезок, который делит трапецию на две равновеликие трапеции (рис. 88).

Зная основания $a$ и $b$ трапеции, найдите длину каждого из указанных отрезков.

Докажите алгебраически, что $k < p, p < m, m < s$, и убедитесь в правильности рисунка 88.

Для трапеции с основаниями $a$ и $b$ (без ограничения общности, пусть $a > b$) найдем длины указанных отрезков.

Средняя линия m

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Её длина по определению равна полусумме оснований.

Ответ: $m = \frac{a+b}{2}$.

Отрезок k

Отрезок $k$ проходит через точку пересечения диагоналей $O$ параллельно основаниям. Треугольники, образованные основаниями и точкой $O$, подобны с коэффициентом $\frac{b}{a}$. Высота трапеции $h$ делится точкой $O$ в отношении $b:a$. Из подобия треугольников, образованных диагоналями и их частями, можно вывести, что длина отрезка $k$ является средним гармоническим оснований $a$ и $b$.

Ответ: $k = \frac{2ab}{a+b}$.

Отрезок p

Отрезок $p$ делит трапецию на две подобные трапеции. Верхняя трапеция имеет основания $b$ и $p$, а нижняя — $p$ и $a$. Для того чтобы эти трапеции были подобны, отношение их оснований должно быть одинаковым:

$\frac{b}{p} = \frac{p}{a}$

Отсюда получаем $p^2 = ab$. Длина отрезка $p$ является средним геометрическим оснований $a$ и $b$.

Ответ: $p = \sqrt{ab}$.

Отрезок s

Отрезок $s$ делит трапецию на две равновеликие, то есть равные по площади, трапеции. Пусть высота исходной трапеции равна $h$. Можно показать, что для отрезка $s$, параллельного основаниям, выполняется следующее соотношение: площадь верхней трапеции (с основаниями $b$ и $s$) так относится к площади нижней (с основаниями $s$ и $a$), как $(s^2 - b^2)$ к $(a^2 - s^2)$. Так как площади равны, то:

$s^2 - b^2 = a^2 - s^2$

$2s^2 = a^2 + b^2$

Длина отрезка $s$ является средним квадратичным оснований $a$ и $b$.

Ответ: $s = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$.

Доказательство неравенств

Докажем алгебраически, что $k < p < m < s$, если $a \neq b$. Если $a=b$, то трапеция является параллелограммом, и $k=p=m=s=a$. Будем считать $a > 0, b > 0$ и $a \neq b$.

1. Докажем, что $p < m$ (неравенство о среднем геометрическом и среднем арифметическом).
Нужно доказать $\sqrt{ab} < \frac{a+b}{2}$.
Так как обе части положительны, возведем их в квадрат: $ab < \frac{(a+b)^2}{4}$.
$4ab < a^2 + 2ab + b^2$
$0 < a^2 - 2ab + b^2$
$0 < (a-b)^2$.
Это неравенство справедливо для любых различных $a$ и $b$.

2. Докажем, что $k < p$ (неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом).
Нужно доказать $\frac{2ab}{a+b} < \sqrt{ab}$.
Разделим обе части на положительное число $\sqrt{ab}$: $\frac{2\sqrt{ab}}{a+b} < 1$.
$2\sqrt{ab} < a+b$, или $\sqrt{ab} < \frac{a+b}{2}$, что было доказано в предыдущем пункте.

3. Докажем, что $m < s$ (неравенство о среднем арифметическом и среднем квадратичном).
Нужно доказать $\frac{a+b}{2} < \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$.
Возведем обе положительные части в квадрат: $\frac{(a+b)^2}{4} < \frac{a^2+b^2}{2}$.
$(a+b)^2 < 2(a^2+b^2)$
$a^2 + 2ab + b^2 < 2a^2 + 2b^2$
$0 < a^2 - 2ab + b^2$
$0 < (a-b)^2$.
Это неравенство также справедливо для любых различных $a$ и $b$.

Таким образом, мы доказали цепочку неравенств $k < p < m < s$. Это полностью соответствует расположению отрезков на рисунке 88, где они показаны в порядке увеличения их длины от меньшего основания $b$ к большему основанию $a$.