Номер 77, страница 48 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

77. Докажите при помощи теоремы Менелая, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем в нем две медианы, например, $AA_1$ и $BB_1$, где $A_1$ — середина стороны $BC$, а $B_1$ — середина стороны $AC$. Пусть $O$ — точка пересечения этих медиан. Нам нужно доказать, что $AO:OA_1 = 2:1$.

Для доказательства воспользуемся теоремой Менелая. Рассмотрим треугольник $A_1BC$ и секущую $BB_1$. Нет, это неверный выбор. Рассмотрим треугольник $AA_1C$ и прямую (секущую), проходящую через точки $B, O, B_1$. Эта прямая пересекает сторону $AC$ в точке $B_1$, сторону $AA_1$ в точке $O$ и продолжение стороны $CA_1$ в точке $B$.

Согласно теореме Менелая для треугольника $AA_1C$ и секущей $BOB_1$, справедливо равенство:

$\frac{AO}{OA_1} \cdot \frac{A_1B}{BC} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$

Это одна из форм записи. Давайте используем более классическую, обходя вершины треугольника $AA_1C$:

$\frac{AB_1}{B_1C} \cdot \frac{CB}{BA_1} \cdot \frac{A_1O}{OA} = 1$

Теперь проанализируем каждое отношение в этом произведении:

1. Так как $BB_1$ — медиана, проведенная к стороне $AC$, точка $B_1$ является серединой $AC$. Следовательно, $AB_1 = B_1C$. Отсюда:
$\frac{AB_1}{B_1C} = 1$

2. Так как $AA_1$ — медиана, проведенная к стороне $BC$, точка $A_1$ является серединой $BC$. Следовательно, $BC = 2 \cdot BA_1$. Отсюда (учитывая, что точки $C, A_1, B$ лежат на одной прямой и $A_1$ между $B$ и $C$, но мы берем отношение длин отрезков):
$\frac{CB}{BA_1} = \frac{2 \cdot BA_1}{BA_1} = 2$

Теперь подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$1 \cdot 2 \cdot \frac{A_1O}{OA} = 1$

$2 \cdot \frac{A_1O}{OA} = 1$

$\frac{A_1O}{OA} = \frac{1}{2}$

Это означает, что отношение отрезка от основания медианы до точки пересечения к отрезку от вершины до точки пересечения равно $1:2$. Если перевернуть это отношение, мы получим то, что требовалось доказать:

$\frac{AO}{OA_1} = \frac{2}{1}$, или $AO : OA_1 = 2:1$.

Поскольку выбор медиан был произвольным, аналогичное доказательство можно провести для любой другой пары медиан (например, $AA_1$ и $CC_1$). Это означает, что все три медианы пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Ответ: Утверждение доказано с помощью теоремы Менелая, примененной к треугольнику, образованному одной из медиан и половиной стороны, и секущей, являющейся другой медианой.