Номер 74, страница 46 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

74. Дан параллелограмм $ABCD$, площадь которого равна 120. На стороне $AB$ взята точка $M$, на стороне $AD$ — точка $K$ так, что $AM = \frac{1}{2}AB$, $AK = \frac{2}{5}AD$. Найдите площадь четырехугольника $MBDK$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $S_{ABCD} = 120$. Диагональ $BD$ делит параллелограмм на два треугольника равной площади, $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.

Площадь треугольника $ABD$ составляет половину площади параллелограмма:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 120 = 60$.

Точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $AD$ треугольника $ABD$ соответственно. Четырехугольник $MBDK$ образуется, если из треугольника $ABD$ "вырезать" треугольник $AMK$. Таким образом, площадь четырехугольника $MBDK$ можно найти как разность площадей треугольников $ABD$ и $AMK$:

$S_{MBDK} = S_{ABD} - S_{AMK}$.

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. Треугольники $ABD$ и $AMK$ имеют общий угол $\angle A$.

Площадь треугольника $ABD$ равна $S_{ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin A = 60$.

Для треугольника $AMK$ используем ту же формулу. По условию задачи $AM = \frac{1}{2}AB$ и $AK = \frac{2}{5}AD$.

$S_{AMK} = \frac{1}{2} AM \cdot AK \cdot \sin A$.

Подставим соотношения для сторон:

$S_{AMK} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}AB\right) \cdot \left(\frac{2}{5}AD\right) \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin A\right)$.

Заметим, что выражение в скобках является формулой для площади треугольника $ABD$. Следовательно, мы можем выразить площадь $S_{AMK}$ через $S_{ABD}$:

$S_{AMK} = \frac{2}{10} S_{ABD} = \frac{1}{5} S_{ABD}$.

Вычислим численное значение площади $S_{AMK}$:

$S_{AMK} = \frac{1}{5} \cdot 60 = 12$.

Теперь мы можем найти площадь искомого четырехугольника $MBDK$:

$S_{MBDK} = S_{ABD} - S_{AMK} = 60 - 12 = 48$.

Ответ: 48