Повторение, страница 44 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Повторение

В 8-м классе мы доказали следующую теорему:
Теорема (о касательной и секущей). Если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной, соединяющего данную точку и точку касания, равен произведению отрезков секущей, соединяющих данную точку и точки пересечения секущей с окружностью, т.е. $a^2 = bc$ (рис. 70).

Как видим, отрезок $a$ является средним пропорциональным между отрезками $b$ и $c$ секущей. Глядя на рисунок 70, вспомните идею доказательства теоремы.

Рис. 70

Задача. Найдите $AC$ (см. рис. 70), если $AB = 4$ см, $AD = 2$ см.

Также в 8-м классе была рассмотрена ключевая задача о нахождении отрезка общей касательной двух касающихся внешним образом окружностей с радиусами, равными $R$ и $r$ (рис. 71). Был получен ответ: $AB = 2\sqrt{Rr}$, т. е. искомый отрезок $AB$ — это удвоенное среднее геометрическое радиусов окружностей.

Восстановите по рисунку 71 решение этой задачи.

Рис. 71

Задача. Найдите длину отрезка $AB$ (см. рис. 71), если $R = 18$ см, $r = 8$ см.

Задача.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек ее пересечения с окружностью.

На рисунке 70:

• $AB$ — отрезок касательной, его длина $AB = 4$ см.
• $AC$ — секущая, пересекающая окружность в точках $D$ и $C$.
• $AD$ — внешний отрезок секущей, его длина $AD = 2$ см.
• $AC$ — вся секущая, ее длину нужно найти.

Согласно теореме, мы можем записать равенство:

$AB^2 = AC \cdot AD$

Подставим известные значения в формулу:

$4^2 = AC \cdot 2$

$16 = AC \cdot 2$

Теперь найдем длину $AC$:

$AC = \frac{16}{2} = 8$ см.

Ответ: $AC = 8$ см.

Задача.

Сначала восстановим решение задачи о нахождении длины общей касательной к двум внешне касающимся окружностям, используя рисунок 71.

1. Рассмотрим две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами $r$ и $R$ соответственно ($R > r$). Они касаются друг друга внешним образом, поэтому расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r$.

2. $AB$ — общая внешняя касательная. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Следовательно, $O_1A \parallel O_2B$. Фигура $ABO_2O_1$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A=r$ и $O_2B=R$.

3. Проведем из центра меньшей окружности $O_1$ отрезок $O_1K$, параллельный касательной $AB$, где точка $K$ лежит на радиусе $O_2B$.

4. По построению четырехугольник $ABKO_1$ является прямоугольником. Значит, $AB = O_1K$ и $BK = O_1A = r$.

5. Рассмотрим треугольник $O_1KO_2$. Так как $O_1K \parallel AB$ и $O_2B \perp AB$, то $O_1K \perp O_2B$. Следовательно, треугольник $O_1KO_2$ — прямоугольный с прямым углом $K$.

6. Найдем длины сторон этого треугольника:

• Гипотенуза $O_1O_2 = R + r$.
• Катет $O_2K = O_2B - BK = R - r$.
• Катет $O_1K = AB$, его длину мы ищем.

7. Применим теорему Пифагора к треугольнику $O_1KO_2$: $O_1O_2^2 = O_1K^2 + O_2K^2$.

8. Выразим $O_1K^2$: $O_1K^2 = O_1O_2^2 - O_2K^2$. Подставим выражения для сторон:

$AB^2 = (R+r)^2 - (R-r)^2$

9. Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$AB^2 = (R^2 + 2Rr + r^2) - (R^2 - 2Rr + r^2)$

$AB^2 = R^2 + 2Rr + r^2 - R^2 + 2Rr - r^2$

$AB^2 = 4Rr$

10. Извлечем квадратный корень:

$AB = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}$

Таким образом, мы восстановили формулу.

Теперь найдем длину отрезка $AB$ для заданных значений $R = 18$ см и $r = 8$ см.

Подставим значения в полученную формулу:

$AB = 2\sqrt{18 \cdot 8}$

$AB = 2\sqrt{144}$

$AB = 2 \cdot 12$

$AB = 24$ см.

Ответ: $AB = 24$ см.