Номер 66, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

66. В прямоугольном треугольнике ABC катет $BC$ равен 8 см, а проекция катета $AC$ на гипотенузу $AB$ равна 12 см. Найдите длину гипотенузы.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. $AB$ – гипотенуза, а $AC$ и $BC$ – катеты. По условию задачи, катет $BC = 8$ см.

Проведем высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Отрезок $AH$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу, а отрезок $BH$ – проекцией катета $BC$ на гипотенузу. Из условия известно, что проекция катета $AC$ на гипотенузу $AB$ равна 12 см, следовательно, $AH = 12$ см.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета $BC$ это метрическое соотношение выглядит следующим образом:

$BC^2 = AB \cdot BH$

Обозначим искомую длину гипотенузы $AB$ через $c$. Длина гипотенузы также равна сумме длин проекций катетов: $AB = AH + BH$. Отсюда можно выразить длину проекции $BH$:

$BH = AB - AH = c - 12$

Теперь подставим все известные значения и выражения в метрическое соотношение для катета $BC$:

$8^2 = c \cdot (c - 12)$

Решим полученное уравнение относительно $c$:

$64 = c^2 - 12c$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$c^2 - 12c - 64 = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400$

Теперь найдем корни уравнения:

$c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{12 \pm 20}{2}$

Уравнение имеет два корня:

$c_1 = \frac{12 + 20}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$c_2 = \frac{12 - 20}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Поскольку $c$ обозначает длину гипотенузы, она не может быть отрицательной. Таким образом, корень $c_2 = -4$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень – $c_1 = 16$.

Следовательно, длина гипотенузы $AB$ равна 16 см.

Ответ: 16 см.