Номер 71, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

71. В прямоугольном треугольнике ABC ($\angle C = 90^\circ$) проведена высота $CH$, катет $AC$ равен 4 см, $BH - AH = 4 \text{ см}$. Найдите величину угла $A$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^{\circ}$) и высотой $CH$, проведенной к гипотенузе $AB$.

По условию задачи дано:
1. Катет $AC = 4$ см.
2. Разность проекций катетов на гипотенузу $BH - AH = 4$ см.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для катета $AC$ это метрическое соотношение записывается как:
$AC^2 = AH \cdot AB$

Гипотенуза $AB$ является суммой ее отрезков $AH$ и $BH$: $AB = AH + BH$.

Из условия $BH - AH = 4$ выразим $BH$ через $AH$:
$BH = AH + 4$

Теперь подставим это в выражение для гипотенузы $AB$:
$AB = AH + (AH + 4) = 2 \cdot AH + 4$

Подставим известные значения ($AC = 4$) и полученное выражение для $AB$ в исходное метрическое соотношение:
$4^2 = AH \cdot (2 \cdot AH + 4)$
$16 = 2 \cdot AH^2 + 4 \cdot AH$

Мы получили квадратное уравнение относительно $AH$. Перепишем его в стандартном виде и упростим, разделив все члены на 2:
$2 \cdot AH^2 + 4 \cdot AH - 16 = 0$
$AH^2 + 2 \cdot AH - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-8$, а их сумма равна $-2$. Этим условиям удовлетворяют корни $AH_1 = 2$ и $AH_2 = -4$. Поскольку длина отрезка ($AH$) не может быть отрицательной, мы выбираем положительный корень.
Следовательно, $AH = 2$ см.

Теперь мы можем найти величину угла $A$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ ($\angle AHC = 90^{\circ}$, так как $CH$ — высота). В этом треугольнике нам известны:
- прилежащий катет $AH = 2$ см,
- гипотенуза $AC = 4$ см.

Косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $A$ в треугольнике $ACH$ имеем:
$\cos A = \frac{AH}{AC}$
$\cos A = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^{\circ}$. Таким образом, искомый угол $A$ равен $60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$.