Номер 65, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

65. Дан прямоугольный треугольник $ABC$, $CH$ — высота, опущенная на гипотенузу. Найдите длину отрезка $x$ (рис. 68, а)—в).

a) $4$, $25$, $x$

б) $x$, $8$, $12$

в) $x$, $10$, $\sqrt{70}$

Рис. 68

а) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета $BC$ (обозначенного как $x$), его проекции $BH$ на гипотенузу $AB$, это соотношение записывается как $BC^2 = BH \cdot AB$. По условию дано, что $BH = 4$ и $AB = 25$. Подставляя эти значения в формулу, получаем: $x^2 = 4 \cdot 25 = 100$. Так как длина отрезка является положительной величиной, $x = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: 10

б) Используем метрическое соотношение для катета $BC$: $BC^2 = BH \cdot AB$. По условию $BC = 12$ и $BH = 8$. Подставим известные значения в формулу: $12^2 = 8 \cdot AB$, откуда $144 = 8 \cdot AB$. Найдем длину гипотенузы $AB$: $AB = \frac{144}{8} = 18$. Искомый отрезок $x$ — это $AH$. Гипотенуза $AB$ состоит из двух отрезков: $AB = AH + BH$. Следовательно, $x = AH = AB - BH = 18 - 8 = 10$.
Ответ: 10

в) Квадрат катета $AC$ равен произведению гипотенузы $AB$ на проекцию этого катета на гипотенузу, то есть на отрезок $AH$ (обозначенный как $x$). Формула имеет вид: $AC^2 = AH \cdot AB$. По условию $AC = \sqrt{70}$ и $AB = 10$. Подставляем данные в формулу: $(\sqrt{70})^2 = x \cdot 10$. После возведения в квадрат получаем: $70 = 10x$. Отсюда находим $x$: $x = \frac{70}{10} = 7$.
Ответ: 7