Номер 63, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

63. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Используя формулу $S_{\Delta} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, докажите, что $S_{AOB} \cdot S_{COD} = S_{BOC} \cdot S_{AOD}$.

Рассмотрим выпуклый четырехугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ которого пересекаются в точке $O$. Точка пересечения $O$ делит диагонали на отрезки. Обозначим их длины: $OA$, $OB$, $OC$, $OD$.

При пересечении диагоналей образуются четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle AOD$. Также образуются две пары вертикальных углов. Обозначим угол $\angle AOB = \gamma$. Тогда, так как $\angle AOB$ и $\angle COD$ — вертикальные, $\angle COD = \gamma$. Углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ также являются вертикальными, и они смежны с углом $\gamma$, поэтому $\angle BOC = \angle AOD = 180^\circ - \gamma$.

Воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Выразим площади каждого из четырех треугольников, образованных пересечением диагоналей.

Площадь треугольника $AOB$: $S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin\gamma$.

Площадь треугольника $BOC$: $S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC \cdot \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC \cdot \sin(180^\circ - \gamma)$. Так как $\sin(180^\circ - \gamma) = \sin\gamma$, то $S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC \cdot \sin\gamma$.

Площадь треугольника $COD$: $S_{COD} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD \cdot \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD \cdot \sin\gamma$.

Площадь треугольника $AOD$: $S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OD \cdot \sin(\angle AOD) = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OD \cdot \sin(180^\circ - \gamma)$. Так как $\sin(180^\circ - \gamma) = \sin\gamma$, то $S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OD \cdot \sin\gamma$.

Теперь найдем произведение площадей $S_{AOB} \cdot S_{COD}$:

$S_{AOB} \cdot S_{COD} = \left(\frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin\gamma\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD \cdot \sin\gamma\right) = \frac{1}{4} \cdot OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD \cdot \sin^2\gamma$.

Затем найдем произведение площадей $S_{BOC} \cdot S_{AOD}$:

$S_{BOC} \cdot S_{AOD} = \left(\frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC \cdot \sin\gamma\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot OA \cdot OD \cdot \sin\gamma\right) = \frac{1}{4} \cdot OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD \cdot \sin^2\gamma$.

Сравнивая полученные выражения для произведений площадей, мы видим, что они равны:

$\frac{1}{4} \cdot OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD \cdot \sin^2\gamma = \frac{1}{4} \cdot OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD \cdot \sin^2\gamma$.

Следовательно, $S_{AOB} \cdot S_{COD} = S_{BOC} \cdot S_{AOD}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на представлении площадей всех четырех треугольников ($\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle AOD$) через формулу $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. При перемножении площадей $S_{AOB} \cdot S_{COD}$ и $S_{BOC} \cdot S_{AOD}$ получаются идентичные выражения $\frac{1}{4} \cdot OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD \cdot \sin^2\gamma$, что подтверждает исходное равенство.