Номер 59, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

59. Выведите формулу площади равностороннего треугольника $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$, используя формулу $S_{\Delta} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

Для вывода формулы площади равностороннего треугольника воспользуемся общей формулой площади треугольника $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где a и b – длины двух сторон треугольника, а $\gamma$ – угол между ними.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны. Обозначим длину стороны как a. Также в равностороннем треугольнике все углы равны. Поскольку сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, то каждый угол в равностороннем треугольнике равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$.

Теперь применим общую формулу площади к нашему равностороннему треугольнику. Выберем две любые стороны. Их длины будут a и a. Угол между ними будет $60^\circ$. Таким образом, мы подставляем в исходную формулу $b=a$ и $\gamma = 60^\circ$.

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(60^\circ)$

Это выражение упрощается до:

$S = \frac{1}{2} a^2 \sin(60^\circ)$

Значение синуса $60^\circ$ является известной тригонометрической константой: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим это значение в нашу формулу:

$S = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Выполнив умножение, получаем искомую формулу:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Ответ: Для вывода формулы площади равностороннего треугольника $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ из общей формулы $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, необходимо использовать свойства равностороннего треугольника. В нем все стороны равны a, и все углы равны $60^\circ$. Подставляя в общую формулу $b=a$ (длина второй стороны) и $\gamma=60^\circ$ (угол между сторонами), получаем: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2}a^2\sin(60^\circ)$. Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, приходим к выражению: $S = \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.