Номер 57, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

57. а) Площадь параллелограмма равна $18\sqrt{3}$ см$^2$, одна из его сторон на 5 см больше другой, а один из углов равен $60^\circ$. Найдите периметр параллелограмма.

б) Стороны параллелограмма относятся как $3:5$, площадь равна 30 см$^2$, а тупой угол параллелограмма равен $150^\circ$. Найдите периметр параллелограмма.

а)

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними.

По условию задачи, площадь $S = 18\sqrt{3}$ см², один из углов равен $60^\circ$, а одна сторона на 5 см больше другой. Обозначим одну сторону как $a$, тогда другая сторона будет $b = a + 5$. Угол между ними $\alpha = 60^\circ$.

Подставим известные значения в формулу площади:

$18\sqrt{3} = a \cdot (a + 5) \cdot \sin(60^\circ)$

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем уравнение:

$18\sqrt{3} = a(a + 5) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$18 = a(a + 5) \cdot \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2:

$36 = a(a + 5)$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$a^2 + 5a - 36 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни. Корнями являются числа 4 и -9. Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, выбираем $a = 4$ см.

Тогда вторая сторона $b = a + 5 = 4 + 5 = 9$ см.

Периметр параллелограмма равен $P = 2(a + b)$.

$P = 2(4 + 9) = 2 \cdot 13 = 26$ см.

Ответ: 26 см.

б)

Стороны параллелограмма относятся как $3 : 5$. Обозначим их как $a = 3x$ и $b = 5x$.

Площадь $S = 30$ см², а тупой угол равен $150^\circ$. Сумма смежных углов параллелограмма равна $180^\circ$, поэтому острый угол $\alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Используем формулу площади $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$ с острым углом.

$30 = (3x) \cdot (5x) \cdot \sin(30^\circ)$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, подставляем это значение в уравнение:

$30 = 15x^2 \cdot \frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$60 = 15x^2$

Разделим обе части на 15:

$x^2 = 4$

Поскольку $x$ должен быть положительным, $x = 2$.

Теперь найдем длины сторон:

$a = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см.

$b = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Периметр параллелограмма равен $P = 2(a + b)$.

$P = 2(6 + 10) = 2 \cdot 16 = 32$ см.

Ответ: 32 см.