Номер 53, страница 36 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

53. Докажите, что для углов треугольника АВС верно равенство:

a) $ \sin A = \sin (B + C) $;

б) $ \cos A = -\cos (B + C) $.

а) По теореме о сумме углов треугольника, сумма углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равна $180^\circ$.
$A + B + C = 180^\circ$
Из этого равенства выразим угол $A$:
$A = 180^\circ - (B + C)$
Теперь подставим это выражение в левую часть доказываемого равенства $\sin A = \sin(B + C)$:
$\sin A = \sin(180^\circ - (B + C))$
Применим формулу приведения для синуса: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$. В нашем случае $\alpha = B + C$.
Следовательно, $\sin(180^\circ - (B + C)) = \sin(B + C)$.
Таким образом, мы получаем, что $\sin A = \sin(B + C)$, что и требовалось доказать.
Ответ: равенство доказано.

б) Аналогично, используем свойство суммы углов треугольника: $A = 180^\circ - (B + C)$.
Подставим это выражение в левую часть доказываемого равенства $\cos A = -\cos(B + C)$:
$\cos A = \cos(180^\circ - (B + C))$
Применим формулу приведения для косинуса: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$. В нашем случае $\alpha = B + C$.
Следовательно, $\cos(180^\circ - (B + C)) = -\cos(B + C)$.
Таким образом, мы получаем, что $\cos A = -\cos(B + C)$, что и требовалось доказать.
Ответ: равенство доказано.