номер 54, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

54. Используя формулы $S_\Delta = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$ и $S_{пар} = ab \sin\alpha$, найдите площади треугольников и параллелограмма, изображенных на рисунке 60.

а) б) в) Рис. 60

а)

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ – две стороны треугольника, а $\gamma$ – угол между ними.

В данном случае, стороны равны $a = 5$ и $b = 4\sqrt{2}$, а угол между ними $\gamma = 45^\circ$.

Значение синуса угла $45^\circ$ равно $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot (\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10 \cdot 1 = 10$

Ответ: 10

б)

Используем ту же формулу для площади треугольника: $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$.

Стороны треугольника равны $a = 4$ и $b = 8$, а угол между ними $\gamma = 150^\circ$.

Значение синуса угла $150^\circ$ можно найти через формулу приведения: $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot \frac{1}{2} = 8$

Ответ: 8

в)

Для нахождения площади параллелограмма используем формулу $S_{пар} = ab \sin\alpha$, где $a$ и $b$ – смежные стороны параллелограмма, а $\alpha$ – угол между ними.

Из рисунка мы видим, что смежные стороны параллелограмма равны $a = 15$ и $b = 10$. Нам необходимо найти угол $\alpha$ между этими сторонами.

На рисунке изображена высота, проведенная из одной вершины к стороне $b=10$. Эта высота образует прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является сторона $a=15$. Один из острых углов этого треугольника (угол между высотой и стороной $a=15$) равен $30^\circ$.

Другой острый угол этого прямоугольного треугольника является углом параллелограмма ($\alpha$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, искомый угол параллелограмма $\alpha$ равен:

$\alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Теперь мы можем вычислить площадь, используя известные стороны и найденный угол между ними:

$S = a \cdot b \cdot \sin\alpha = 15 \cdot 10 \cdot \sin(60^\circ)$.

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S = 150 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 75\sqrt{3}$.

Ответ: $75\sqrt{3}$