Номер 61, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

61. а) Площадь равнобедренной трапеции равна $36\sqrt{3}$ см², угол между диагональю и основанием равен $30^\circ$. Найдите длину диагонали трапеции.

б) Найдите площадь равнобедренной трапеции с диагональю, равной 12 см, и углом между диагональю и стороной основания, равным $15^\circ$.

а)

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Длина диагонали $AC$ равна $d$. По свойству равнобедренной трапеции, ее диагонали равны, то есть $AC = BD = d$.

Площадь трапеции по условию равна $S = 36\sqrt{3}$ см². Угол между диагональю и основанием (пусть это будет большее основание $AD$) равен $30^\circ$, то есть $\angle CAD = 30^\circ$.

В равнобедренной трапеции углы, которые диагонали образуют с большим основанием, равны. Следовательно, $\angle BDA = \angle CAD = 30^\circ$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. В нем нам известны два угла при основании $AD$: $\angle OAD = 30^\circ$ и $\angle ODA = 30^\circ$.

Угол между диагоналями, $\angle AOD$, можно найти из суммы углов треугольника $\triangle AOD$:

$\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$.

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\gamma$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\gamma$ — угол между ними.

Для равнобедренной трапеции $d_1 = d_2 = d$, поэтому формула принимает вид $S = \frac{1}{2}d^2\sin\gamma$.

В нашем случае $\gamma = \angle AOD = 120^\circ$.

$S = \frac{1}{2}d^2\sin(120^\circ)$.

Используя тригонометрическое тождество, $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим известные значения в формулу площади:

$36\sqrt{3} = \frac{1}{2}d^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{d^2\sqrt{3}}{4}$.

Решим это уравнение относительно $d^2$:

$d^2 = \frac{36\sqrt{3} \cdot 4}{\sqrt{3}} = 36 \cdot 4 = 144$.

Отсюда находим длину диагонали:

$d = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

б)

Найдём площадь равнобедренной трапеции.

По условию, длина диагонали $d = 12$ см, а угол между диагональю и "стороной основания" равен $15^\circ$. Будем считать, что имеется в виду угол между диагональю и основанием.

Пусть в равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагональ $AC=12$ см, а угол между ней и основанием $AD$ равен $\angle CAD = 15^\circ$.

Так как трапеция равнобедренная, её диагонали равны ($AC = BD = 12$ см), и углы между диагоналями и основанием также равны ($\angle BDA = \angle CAD = 15^\circ$).

Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. Угол между диагоналями $\gamma = \angle AOD$.

В треугольнике $\triangle AOD$ угол $\gamma$ равен:

$\gamma = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}d^2\sin\gamma$, где $d$ — длина диагонали, а $\gamma$ — угол между диагоналями.

Подставим известные значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 12^2 \cdot \sin(150^\circ)$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \sin(150^\circ)$.

Используя тождество $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{1}{2} = \frac{144}{4} = 36$ см².

Ответ: 36 см².