Номер 62, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

62. a) Две стороны треугольника имеют длины $a$ и $b$. Найдите наибольшее возможное значение, которое может принимать площадь треугольника.

б) Диагонали выпуклого четырехугольника равны $d_1$ и $d_2$. Найдите наибольшее возможное значение, которое может принимать площадь четырехугольника.

а) Площадь треугольника, две стороны которого равны $a$ и $b$, а угол между ними равен $\alpha$, вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\alpha$. Поскольку длины сторон $a$ и $b$ являются заданными величинами, площадь $S$ будет максимальной, когда будет максимальным значение $\sin\alpha$. Угол $\alpha$ в треугольнике может изменяться в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$. Максимальное значение функции синуса в этом диапазоне равно 1, и оно достигается при $\alpha = 90^\circ$. Таким образом, наибольшую площадь будет иметь прямоугольный треугольник, у которого данные стороны $a$ и $b$ являются катетами. Максимальная площадь равна $S_{\text{max}} = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2}ab \cdot 1 = \frac{ab}{2}$.
Ответ: $\frac{ab}{2}$.

б) Площадь выпуклого четырехугольника может быть вычислена по формуле через его диагонали $d_1$ и $d_2$ и угол $\beta$ между ними: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\beta$. В данном случае длины диагоналей $d_1$ и $d_2$ фиксированы. Следовательно, площадь $S$ зависит только от значения $\sin\beta$. Чтобы площадь четырехугольника была наибольшей, значение $\sin\beta$ должно быть максимальным. Максимальное значение синуса равно 1, что достигается, когда угол $\beta = 90^\circ$. Это означает, что диагонали четырехугольника должны быть перпендикулярны. Наибольшее возможное значение площади четырехугольника равно $S_{\text{max}} = \frac{1}{2}d_1 d_2 \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2}d_1 d_2 \cdot 1 = \frac{d_1 d_2}{2}$.
Ответ: $\frac{d_1 d_2}{2}$.