Номер 67, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

67. $AB$ — диаметр окружности (рис. 69). Найдите длину перпендикуляра $MK$.

$M$

$x$

$A$

$4$

$K$

$9$

$B$

Puc. 69

Для решения задачи воспользуемся свойством вписанного угла, опирающегося на диаметр, и свойством высоты в прямоугольном треугольнике.

1. Соединим точку M, лежащую на окружности, с концами диаметра A и B. Мы получим треугольник AMB.

2. Угол $\angle AMB$ является вписанным углом, который опирается на диаметр AB. По теореме о вписанном угле, угол, опирающийся на диаметр (или полукружность), является прямым. Следовательно, $\angle AMB = 90^\circ$.

3. Это означает, что треугольник AMB — прямоугольный, где AB — гипотенуза, а AM и BM — катеты.

4. Отрезок MK проведен из вершины M перпендикулярно к гипотенузе AB. Таким образом, MK является высотой прямоугольного треугольника AMB, опущенной на гипотенузу.

5. Существует теорема о высоте в прямоугольном треугольнике, которая гласит, что квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. В нашем случае отрезки AK и KB являются проекциями катетов AM и BM на гипотенузу AB.

Таким образом, мы можем записать соотношение:

$MK^2 = AK \cdot KB$

6. Согласно условию задачи, нам даны длины отрезков: $AK = 4$ и $KB = 9$. Длина перпендикуляра MK обозначена как x. Подставим эти значения в формулу:

$x^2 = 4 \cdot 9$

$x^2 = 36$

7. Чтобы найти x, извлечем квадратный корень из 36. Поскольку длина отрезка может быть только положительным числом:

$x = \sqrt{36} = 6$

Следовательно, длина перпендикуляра MK равна 6.

Ответ: 6.