Реальная геометрия, страница 44 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Реальная геометрия

Ребята из 9-го класса нашли высоту своей школы следующим образом. Они измерили угол, под которым видна кромка крыши школы (рис. 72), и расстояние от места измерения до фундамента школы. Угол оказался равным $67^\circ$, а расстояние — 5 м. Далее они применили алгоритм решения прямоугольного треугольника. Учитывая, что рост школьника, который измерял угол, равен 180 см, ребята нашли примерную высоту школы — 13,6 м. Проверьте, не ошиблись ли ребята в вычислениях. Попробуйте найти подобным образом высоту своей школы.

Прибор, при помощи которого определяют углы на местности, называется эклиметр. Такой прибор можно изготовить самостоятельно. Для этого потребуется транспортир, нить с грузом и заостренная палка. Заостренную палку втыкают в землю так, чтобы нить с грузом располагалась вертикально. Поворачивая транспортир, наблюдатель смотрит вдоль прямой $AB$ (рис. 73). По отклонению нити отвеса на транспортире определяют измеряемый угол. Объясните, как определить искомый угол $\alpha$.

Puc. 72

Puc. 73

Проверьте, не ошиблись ли ребята в вычислениях.

Чтобы проверить вычисления ребят, необходимо самостоятельно рассчитать высоту школы по имеющимся данным. Задача сводится к нахождению катета в прямоугольном треугольнике. Пусть $H$ — полная высота школы. Она складывается из высоты школьника до уровня глаз ($h_1 = 1,8$ м) и высоты $h_2$, которая является катетом прямоугольного треугольника, находящимся над уровнем глаз школьника. Таким образом, $H = h_1 + h_2$.

Катет $h_2$ является противолежащим для угла $\alpha = 67°$. Прилежащий катет — это расстояние от школьника до фундамента школы, равное $d = 5$ м. Соотношение между катетами и углом в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс:

$\tan(\alpha) = \frac{h_2}{d}$

Отсюда выражаем $h_2$:

$h_2 = d \cdot \tan(\alpha) = 5 \cdot \tan(67°)$

Используя калькулятор, находим, что $\tan(67°) \approx 2,35585$.

$h_2 \approx 5 \cdot 2,35585 \approx 11,779$ м.

Теперь найдем полную высоту школы:

$H = h_1 + h_2 \approx 1,8 + 11,779 = 13,579$ м.

Округляя полученное значение до десятых, получаем $13,6$ м. Этот результат совпадает с результатом, который получили ребята.

Ответ: Нет, ребята в вычислениях не ошиблись, их результат верен.

Попробуйте найти подобным образом высоту своей школы.

Высота школы $H$ находится как сумма высоты наблюдателя до уровня глаз $h_1$ и высоты $h_2$, которая является катетом прямоугольного треугольника, лежащим напротив угла $\alpha$.

$H = h_1 + h_2$

Имеем следующие данные: $h_1 = 1,8$ м, расстояние до школы (прилежащий катет) $d = 5$ м, угол $\alpha = 67°$. Найдем катет $h_2$ из тригонометрического соотношения:

$\frac{h_2}{d} = \tan(\alpha)$

$h_2 = d \cdot \tan(\alpha) = 5 \cdot \tan(67°)$

Примем значение $\tan(67°)$ примерно равным $2,356$.

$h_2 \approx 5 \cdot 2,356 = 11,78$ м.

Полная высота школы:

$H \approx 1,8 + 11,78 = 13,58$ м.

Ответ: Примерная высота школы, найденная данным способом, составляет $13,58$ м.

Объясните, как определить искомый угол α.

Для определения угла $\alpha$ с помощью самодельного эклиметра (рис. 73) необходимо выполнить следующие действия. Наблюдатель направляет прямую $AB$ (прямой край транспортира) на интересующий объект, в данном случае — на кромку крыши. Нить с грузом (отвес) под действием силы тяжести всегда располагается строго вертикально.

Искомый угол $\alpha$ — это угол возвышения, то есть угол между горизонтальной линией и линией визирования $AB$. Вертикальная линия (нить отвеса) и горизонтальная линия перпендикулярны друг другу, то есть образуют прямой угол ($90°$). На транспортире нить отвеса покажет угол $\beta$ — это угол между линией визирования $AB$ и вертикалью.

Из геометрических соображений, искомый угол $\alpha$ (между линией визирования и горизонталью) и измеренный по транспортиру угол $\beta$ (между линией визирования и вертикалью) являются комплементарными, то есть в сумме дают $90°$. Таким образом, для нахождения искомого угла $\alpha$ нужно из $90°$ вычесть показание угла $\beta$ на транспортире:

$\alpha = 90° - \beta$

Например, если нить на транспортире покажет $23°$, то искомый угол $\alpha$ будет равен $90° - 23° = 67°$.

Ответ: Чтобы определить искомый угол $\alpha$, нужно измерить угол $\beta$ между линией визирования $AB$ и нитью отвеса, а затем вычислить разность: $\alpha = 90° - \beta$.