Номер 76, страница 47 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

76. Используя данные рисунка 78, докажите, что:

a) $S_{ABC} = S_{AMK}$;

б) $S_{MBD} = S_{CKD}$.

Puc. 78

а)

Для доказательства равенства площадей треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle AMK$ воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$.

Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle AMK$ имеют общий угол $\angle A$ (или $\angle BAC$, что то же самое, что и $\angle MAK$).

Найдем длины сторон, образующих этот угол, для каждого треугольника, используя данные с рисунка.

Для $\triangle ABC$:

Сторона $AB = 9$.

Сторона $AC = AK + KC = 12 + 8 = 20$.

Для $\triangle AMK$:

Сторона $AM = AB + BM = 9 + 6 = 15$.

Сторона $AK = 12$.

Теперь вычислим площади обоих треугольников, используя формулу:

Площадь $\triangle ABC$ равна: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 20 \cdot \sin(\angle A) = 90 \sin(\angle A)$.

Площадь $\triangle AMK$ равна: $S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AK \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 12 \cdot \sin(\angle A) = 90 \sin(\angle A)$.

Поскольку правые части выражений для площадей равны, то равны и сами площади: $S_{ABC} = S_{AMK}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

В пункте а) было доказано, что площади треугольников $ABC$ и $AMK$ равны: $S_{ABC} = S_{AMK}$.

Рассмотрим, из каких частей состоят эти треугольники. Отрезки $BC$ и $MK$ пересекаются в точке $D$.

Площадь треугольника $ABC$ можно представить как сумму площадей четырехугольника $ABDK$ и треугольника $CKD$:

$S_{ABC} = S_{ABDK} + S_{CKD}$

Аналогично, площадь треугольника $AMK$ можно представить как сумму площадей того же четырехугольника $ABDK$ и треугольника $MBD$:

$S_{AMK} = S_{ABDK} + S_{MBD}$

Так как $S_{ABC} = S_{AMK}$, мы можем приравнять правые части этих равенств:

$S_{ABDK} + S_{CKD} = S_{ABDK} + S_{MBD}$

Вычитая из обеих частей равенства общую площадь четырехугольника $S_{ABDK}$, мы получаем:

$S_{CKD} = S_{MBD}$

Это и есть то, что требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.