Номер 79, страница 48 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

79. В треугольнике АВС проведены отрезки АМ и СК, которые пересекаются в точке О ($M \in BC, K \in AB$). Найдите $S_{ABC}$, если $S_{AOK} = 2$, $S_{MOC} = 3$, $S_{AOC} = 4$.

Для решения задачи воспользуемся свойством, что отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению длин их оснований.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle MOC$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $C$ к прямой $AM$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению длин оснований $AO$ и $OM$.

$\frac{S_{AOC}}{S_{MOC}} = \frac{AO}{OM}$

Используя данные из условия, $S_{AOC} = 4$ и $S_{MOC} = 3$, получаем:

$\frac{AO}{OM} = \frac{4}{3}$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle MOB$ (или $\triangle BOM$). Они также имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой $AM$. Поэтому отношение их площадей также равно отношению $\frac{AO}{OM}$.

$\frac{S_{AOB}}{S_{BOM}} = \frac{AO}{OM} = \frac{4}{3}$

Площадь $\triangle AOB$ можно выразить как сумму $S_{AOB} = S_{AOK} + S_{BOK}$. По условию $S_{AOK} = 2$. Обозначим неизвестные площади как $S_{BOK} = x$ и $S_{BOM} = y$.

$\frac{S_{AOK} + S_{BOK}}{S_{BOM}} = \frac{2+x}{y} = \frac{4}{3}$

Отсюда получаем первое уравнение: $3(2+x) = 4y \implies 6 + 3x = 4y$.

2. Применим тот же подход к отрезку $CK$. Рассмотрим треугольники $\triangle AOK$ и $\triangle AOC$. У них общая высота, проведенная из вершины $A$ к прямой $CK$. Значит, отношение их площадей равно отношению оснований $OK$ и $OC$.

$\frac{S_{AOK}}{S_{AOC}} = \frac{OK}{OC}$

Подставляя известные значения $S_{AOK} = 2$ и $S_{AOC} = 4$, находим:

$\frac{OK}{OC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Треугольники $\triangle BOK$ и $\triangle BOC$ имеют общую высоту из вершины $B$ к прямой $CK$. Таким образом, отношение их площадей также равно $\frac{OK}{OC}$.

$\frac{S_{BOK}}{S_{BOC}} = \frac{OK}{OC} = \frac{1}{2}$

Площадь $\triangle BOC$ является суммой площадей $\triangle BOM$ и $\triangle MOC$. Мы знаем, что $S_{MOC} = 3$.

$\frac{S_{BOK}}{S_{BOM} + S_{MOC}} = \frac{x}{y+3} = \frac{1}{2}$

Отсюда получаем второе уравнение: $2x = y + 3$.

3. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} 6 + 3x = 4y \\ 2x = y + 3 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y = 2x - 3$ и подставим в первое:

$6 + 3x = 4(2x - 3)$

$6 + 3x = 8x - 12$

$18 = 5x$

$x = S_{BOK} = \frac{18}{5} = 3.6$

Теперь найдем $y$:

$y = S_{BOM} = 2x - 3 = 2(3.6) - 3 = 7.2 - 3 = 4.2$

4. Для нахождения площади всего треугольника $ABC$ представим ее как сумму площадей треугольников, на которые его делит отрезок $CK$.

$S_{ABC} = S_{AKC} + S_{BKC}$

Площадь $\triangle AKC$ состоит из площадей $\triangle AOK$ и $\triangle AOC$:

$S_{AKC} = S_{AOK} + S_{AOC} = 2 + 4 = 6$.

Площадь $\triangle BKC$ состоит из площадей $\triangle BOK$ и $\triangle BOC$, а $\triangle BOC$, в свою очередь, состоит из $\triangle BOM$ и $\triangle MOC$:

$S_{BKC} = S_{BOK} + S_{BOC} = S_{BOK} + (S_{BOM} + S_{MOC}) = 3.6 + (4.2 + 3) = 3.6 + 7.2 = 10.8$.

Следовательно, полная площадь треугольника $ABC$ равна:

$S_{ABC} = S_{AKC} + S_{BKC} = 6 + 10.8 = 16.8$.

Ответ: $16.8$.