Номер 84, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

84. Дана окружность с диаметром AB и центром в точке O, $AK = a$, $KB = b$, $CK \perp AB$, $DO \perp AB$, $KE \perp OC$ (рис. 89). Докажите, что:

a) $CK = \sqrt{ab}$ — среднее геометрическое чисел a и b;

б) $DO = \frac{a+b}{2}$ — среднее арифметическое чисел a и b;

в) $CE = \frac{2ab}{a+b}$ — среднее гармоническое чисел a и b;

г) $KD = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ — среднее квадратичное чисел a и b.

Puc. 89

a)

Рассмотрим треугольник $ACB$. Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$, опирающийся на него, является прямым, то есть $\angle ACB = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ACB$ отрезок $CK$ является высотой, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$, поскольку по условию $CK \perp AB$. Согласно свойству высоты в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению длин отрезков, на которые высота делит гипотенузу. В нашем случае это отрезки $AK$ и $KB$.

По условию задачи $AK = a$ и $KB = b$. Следовательно, мы можем записать: $CK^2 = AK \cdot KB = a \cdot b$. Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства, получаем: $CK = \sqrt{ab}$. Это доказывает, что длина отрезка $CK$ является средним геометрическим чисел $a$ и $b$.

Ответ: $CK = \sqrt{ab}$.

б)

Длина диаметра $AB$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $KB$: $AB = AK + KB = a + b$. Центр окружности $O$ является серединой диаметра $AB$. Радиус окружности $R$ равен половине длины диаметра: $R = \frac{AB}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Точка $D$ лежит на окружности, и по условию $DO \perp AB$. Отрезок $DO$ соединяет центр окружности $O$ с точкой $D$ на окружности, следовательно, $DO$ является радиусом окружности. Таким образом, $DO = R = \frac{a+b}{2}$. Это доказывает, что длина отрезка $DO$ является средним арифметическим чисел $a$ и $b$.

Ответ: $DO = \frac{a+b}{2}$.

в)

Рассмотрим треугольник $OCK$. Так как по условию $CK \perp AB$, а точка $O$ лежит на $AB$, то угол $\angle OKC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $OCK$ является прямоугольным с гипотенузой $OC$. По условию $KE \perp OC$, поэтому $KE$ является высотой в прямоугольном треугольнике $OCK$, проведённой из вершины прямого угла $K$ к гипотенузе $OC$.

В прямоугольном треугольнике катет является средним пропорциональным (геометрическим) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. В треугольнике $OCK$ катетом является $CK$, а его проекцией на гипотенузу $OC$ является отрезок $CE$. Следовательно, можем записать: $CK^2 = CE \cdot OC$.

Отсюда выразим $CE$: $CE = \frac{CK^2}{OC}$. Из предыдущих пунктов нам известно, что $CK^2 = ab$ (из пункта а)) и $OC = R = \frac{a+b}{2}$ (так как $OC$ — радиус, из пункта б)). Подставим эти значения: $CE = \frac{ab}{(a+b)/2} = \frac{2ab}{a+b}$. Это доказывает, что длина отрезка $CE$ является средним гармоническим чисел $a$ и $b$.

Ответ: $CE = \frac{2ab}{a+b}$.

г)

Рассмотрим треугольник $KOD$. По условию $DO \perp AB$. Так как точка $K$ лежит на отрезке $AB$, то отрезок $OK$ также лежит на прямой $AB$, и следовательно, $DO \perp OK$. Таким образом, угол $\angle DOK = 90^\circ$, и треугольник $KOD$ является прямоугольным. По теореме Пифагора для треугольника $KOD$: $KD^2 = OK^2 + DO^2$.

Найдём длины катетов $OK$ и $DO$. Длина $DO$ равна радиусу окружности: $DO = \frac{a+b}{2}$. Длину $OK$ найдем как модуль разности длин отрезков $AO$ и $AK$. $AO$ — это радиус, $AO = \frac{a+b}{2}$. $AK = a$. Тогда $OK = |AO - AK| = |\frac{a+b}{2} - a| = |\frac{a+b-2a}{2}| = |\frac{b-a}{2}|$.

Теперь подставим квадраты длин катетов в формулу теоремы Пифагора:

$KD^2 = \left(\frac{|b-a|}{2}\right)^2 + \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(b-a)^2}{4} + \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{b^2 - 2ab + a^2 + a^2 + 2ab + b^2}{4} = \frac{2a^2 + 2b^2}{4} = \frac{a^2+b^2}{2}$.

Извлекая квадратный корень, получаем: $KD = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$. Это доказывает, что длина отрезка $KD$ является средним квадратичным чисел $a$ и $b$.

Ответ: $KD = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$.