Тест 3, страница 52 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 3

Найдите высоту $CK$ треугольника $ABC$, если

$AC = 2$, $KB = 3$.

а) $2$;

б) $\sqrt{3}$;

в) $\sqrt{2}$;

г) $2,5$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$). $CK$ является высотой, опущенной на гипотенузу $AB$, следовательно, $CK \perp AB$. Нам даны длина катета $AC = 2$ и длина отрезка гипотенузы $KB = 3$.

Для решения этой задачи мы можем использовать метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

Одно из таких соотношений гласит, что квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. В нашем случае для катета $AC$ и его проекции $AK$ на гипотенузу $AB$ это записывается как: $AC^2 = AB \cdot AK$.

Обозначим длину отрезка $AK$ через $x$. Тогда длина гипотенузы $AB$ будет суммой длин ее отрезков: $AB = AK + KB = x + 3$.

Подставим известные значения в формулу:
$2^2 = (x + 3) \cdot x$
$4 = x^2 + 3x$

Мы получили квадратное уравнение: $x^2 + 3x - 4 = 0$.
Найдем его корни, например, по теореме Виета: произведение корней равно $-4$, а их сумма равна $-3$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Так как $x$ обозначает длину отрезка, она не может быть отрицательной. Поэтому мы выбираем корень $x=1$. Таким образом, $AK = 1$.

Теперь мы можем найти высоту $CK$, используя другое метрическое соотношение: квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу.
$CK^2 = AK \cdot KB$

Подставим известные и найденные значения:
$CK^2 = 1 \cdot 3 = 3$
Отсюда $CK = \sqrt{3}$.

Следовательно, верным является вариант ответа б).

Ответ: $\sqrt{3}$