Номер 1, страница 53 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

1. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла $\alpha$.

а) 2, 1, $\sqrt{3}$, $\alpha$

б) 10, 6, 8, $\alpha$

в) 15, 17, $\alpha$

а)

В заданном прямоугольном треугольнике известны все стороны относительно угла $ \alpha $: противолежащий катет равен 1, прилежащий катет равен $ \sqrt{3} $, и гипотенуза равна 2.

Вычислим тригонометрические функции по их определениям в прямоугольном треугольнике:

Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$ \sin \alpha = \frac{1}{2} $

Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему:
$ \tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Котангенс – это отношение прилежащего катета к противолежащему:
$ \cot \alpha = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} $

Ответ: $ \sin \alpha = \frac{1}{2} $, $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} $, $ \cot \alpha = \sqrt{3} $.

б)

В данном прямоугольном треугольнике прилежащий к углу $ \alpha $ катет равен 6, а гипотенуза равна 10. Для вычисления всех функций необходимо найти противолежащий катет. Обозначим его как $b$ и найдем по теореме Пифагора:

$ b^2 + 6^2 = 10^2 $
$ b^2 + 36 = 100 $
$ b^2 = 100 - 36 $
$ b^2 = 64 $
$ b = \sqrt{64} = 8 $

Теперь, когда известны все стороны (противолежащий катет = 8, прилежащий катет = 6, гипотенуза = 10), вычислим тригонометрические функции:

$ \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $

$ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $

$ \tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $

$ \cot \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $

Ответ: $ \sin \alpha = \frac{4}{5} $, $ \cos \alpha = \frac{3}{5} $, $ \tan \alpha = \frac{4}{3} $, $ \cot \alpha = \frac{3}{4} $.

в)

В этом прямоугольном треугольнике противолежащий углу $ \alpha $ катет равен 15, а гипотенуза равна 17. Для вычисления всех функций необходимо найти прилежащий катет. Обозначим его как $a$ и найдем по теореме Пифагора:

$ a^2 + 15^2 = 17^2 $
$ a^2 + 225 = 289 $
$ a^2 = 289 - 225 $
$ a^2 = 64 $
$ a = \sqrt{64} = 8 $

Теперь, когда известны все стороны (противолежащий катет = 15, прилежащий катет = 8, гипотенуза = 17), вычислим тригонометрические функции:

$ \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{15}{17} $

$ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{8}{17} $

$ \tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{15}{8} $

$ \cot \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{8}{15} $

Ответ: $ \sin \alpha = \frac{15}{17} $, $ \cos \alpha = \frac{8}{17} $, $ \tan \alpha = \frac{15}{8} $, $ \cot \alpha = \frac{8}{15} $.