Номер 3, страница 53 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

3. Найдите площадь треугольника.

a) 8

$75^\circ$

$75^\circ$

б) $4\sqrt{2}$

$67.5^\circ$

в) 3

$60^\circ$

6

а)

В данном треугольнике даны два угла, равные $75^\circ$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, равны. Из рисунка видно, что сторона длиной 8 является одной из боковых сторон этого равнобедренного треугольника. Следовательно, другая боковая сторона также равна 8.

Найдем третий угол треугольника (угол при вершине):

$180^\circ - 75^\circ - 75^\circ = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Таким образом, мы имеем треугольник с двумя сторонами длиной 8 и углом между ними $30^\circ$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ – стороны треугольника, а $\gamma$ – угол между ними.

Подставим известные значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{1}{2} = \frac{64}{4} = 16$.

Ответ: 16.

б)

Данный треугольник является равнобедренным, что показано равными метками на двух сторонах. Одна из этих сторон равна $4\sqrt{2}$, значит, и вторая равна $4\sqrt{2}$.

Один из углов при основании равен $67,5^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому второй угол при основании также равен $67,5^\circ$.

Найдем угол при вершине, который находится между двумя равными сторонами:

$180^\circ - 67,5^\circ - 67,5^\circ = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Теперь мы можем найти площадь треугольника, используя две стороны $4\sqrt{2}$ и угол $45^\circ$ между ними.

Используем формулу площади $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)$

$S = \frac{1}{2} \cdot (16 \cdot 2) \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$.

Ответ: $8\sqrt{2}$.

в)

В данном треугольнике даны две стороны (3 и 6) и проведен отрезок (чевиана) из их общей вершины. Хотя расположение угла $60^\circ$ на чертеже может указывать на угол между стороной 3 и чевианой, такое прочтение приводит к очень сложным вычислениям. Более вероятно, что чертеж несколько неточен, и угол $60^\circ$ — это угол, который чевиана образует с основанием. Примем эту более простую и логичную для задачи такого типа интерпретацию.

Пусть вершины треугольника – A, B, C, где AC = 6, AB = 3. Пусть из вершины A проведена чевиана AD к стороне BC. Обозначения на чертеже показывают, что $AD=DC$. Предположим, что $\angle ADB = 60^\circ$.

1. Рассмотрим $\triangle ADC$. Так как $AD=DC$, треугольник является равнобедренным. Угол $\angle ADC$ является смежным с углом $\angle ADB$, поэтому $\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Углы при основании $\triangle ADC$ равны: $\angle CAD = \angle ACD = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

2. Теперь у нас есть $\triangle ABC$, в котором мы знаем $\angle C = 30^\circ$, а также стороны $AB=3$ и $AC=6$. Применим теорему синусов для $\triangle ABC$ чтобы найти угол B:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$

$\frac{3}{\sin 30^\circ} = \frac{6}{\sin B}$

$\frac{3}{1/2} = \frac{6}{\sin B} \implies 6 = \frac{6}{\sin B} \implies \sin B = 1$.

Единственный угол треугольника, синус которого равен 1, это $90^\circ$. Значит, $\angle B = 90^\circ$.

3. Таким образом, $\triangle ABC$ является прямоугольным треугольником с прямым углом B. Углы треугольника: $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 30^\circ$, и, следовательно, $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

4. Проверим соответствие длин сторон для прямоугольного треугольника с углами 30-60-90. Сторона напротив угла $30^\circ$ (AB=3) должна быть в два раза короче гипотенузы (AC=6). $3 = 6/2$. Это верно.

5. Теперь найдем площадь прямоугольного треугольника. Его катеты - это AB и BC. Мы знаем $AB=3$. Найдем BC:

$BC = AC \cdot \cos C = 6 \cdot \cos 30^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{9\sqrt{3}}{2}$.