Тест 3, страница 59 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 3

Используя формулу $S = pr$, найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами, равными 6 см, 8 см, 10 см.

а) 1; б) 2; в) 3; г) 1,5.

Для того чтобы найти радиус $r$ вписанной в треугольник окружности, необходимо использовать формулу $S = pr$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр. Из этой формулы можно выразить радиус: $r = \frac{S}{p}$.

1. Найдем полупериметр треугольника ($p$).
Стороны треугольника равны $a = 6$ см, $b = 8$ см, $c = 10$ см.
Периметр $P$ равен сумме длин всех сторон: $P = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24$ см.
Полупериметр $p$ — это половина периметра: $p = \frac{P}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

2. Найдем площадь треугольника ($S$).
Проверим, является ли данный треугольник прямоугольным, с помощью теоремы, обратной теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$). В качестве гипотенузы $c$ берем наибольшую сторону.
$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$10^2 = 100$.
Поскольку $6^2 + 8^2 = 10^2$, треугольник является прямоугольным с катетами 6 см и 8 см.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{48}{2} = 24$ см$^2$.

3. Найдем радиус вписанной окружности ($r$).
Теперь, зная площадь и полупериметр, мы можем вычислить радиус:
$r = \frac{S}{p} = \frac{24}{12} = 2$ см.

Найденное значение радиуса соответствует варианту б).

Ответ: 2