Номер 90, страница 64 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

90. В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O.

а) По рисунку 102, а) определите радиус вписанной окружности.

б) По рисунку 102, б) определите длину отрезка OB, если $\angle ABC = 60^\circ$.

в) По рисунку 102, в) определите длину стороны BC, если диаметр вписанной окружности равен $\sqrt{8}$.

a)

B

K

O

8

10

A

б)

в)

C

B

O

6

E

CA

BA

Puc. 102

$\sqrt{11}$

$\sqrt{27}$

C

а)

Вписанная окружность с центром в точке $O$ касается стороны $AB$ в точке $K$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, следовательно, $OK \perp AB$. Таким образом, треугольник $AOK$ является прямоугольным с прямым углом $K$. В этом треугольнике катет $AK = 8$, а гипотенуза $AO = 10$. Радиус вписанной окружности равен длине катета $OK$.

По теореме Пифагора: $AO^2 = AK^2 + OK^2$.

Выразим $OK$:

$OK^2 = AO^2 - AK^2$

$OK^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$

$OK = \sqrt{36} = 6$
Ответ: 6.

б)

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении его биссектрис. Следовательно, отрезок $OB$ является биссектрисой угла $ABC$.

По условию $\angle ABC = 60^\circ$, значит $\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $OEB$. $E$ — точка касания окружности со стороной $BC$. Радиус $OE$ перпендикулярен касательной $BC$, поэтому $\angle OEB = 90^\circ$. Треугольник $OEB$ — прямоугольный.

В этом треугольнике катет $OE$ является радиусом окружности и равен 6. Нам нужно найти гипотенузу $OB$.

В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\angle OBC) = \frac{OE}{OB}$

$\sin(30^\circ) = \frac{6}{OB}$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} = \frac{6}{OB}$

$OB = 6 \cdot 2 = 12$
Ответ: 12.

в)

По условию диаметр вписанной окружности равен $\sqrt{8}$. Найдем радиус $r$:

$r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{8}}{2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Пусть $M$ — точка касания вписанной окружности со стороной $BC$. Тогда $OM \perp BC$ и $OM = r = \sqrt{2}$.

Сторона $BC$ состоит из двух отрезков: $BM$ и $MC$. Таким образом, $BC = BM + MC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMB$ (с прямым углом $M$). По теореме Пифагора $OB^2 = OM^2 + BM^2$.

Нам дано $OB = \sqrt{11}$ и мы нашли $OM = \sqrt{2}$.

$BM^2 = OB^2 - OM^2 = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{2})^2 = 11 - 2 = 9$

$BM = \sqrt{9} = 3$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMC$ (с прямым углом $M$). По теореме Пифагора $OC^2 = OM^2 + MC^2$.

Нам дано $OC = \sqrt{27}$ и $OM = \sqrt{2}$.

$MC^2 = OC^2 - OM^2 = (\sqrt{27})^2 - (\sqrt{2})^2 = 27 - 2 = 25$

$MC = \sqrt{25} = 5$

Теперь найдем длину стороны $BC$:

$BC = BM + MC = 3 + 5 = 8$
Ответ: 8.