Номер 96, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

96. Дан равнобедренный треугольник $ABC$, $AB = BC = 8$ см, $\angle ABC = 120^\circ$.

Определите:

а) радиус его описанной окружности;

б) радиус его вписанной окружности.

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = BC = 8$ см и углом между ними $\angle ABC = 120^\circ$.

а) радиус его описанной окружности;

Радиус описанной окружности $R$ можно найти по теореме синусов: $R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

Сначала найдем углы при основании $AC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Теперь мы можем использовать сторону $BC = 8$ см и противолежащий ей угол $\angle BAC = 30^\circ$ для нахождения радиуса описанной окружности:

$R = \frac{BC}{2 \sin(\angle BAC)} = \frac{8}{2 \sin 30^\circ}$

Зная, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$R = \frac{8}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{8}{1} = 8$ см.

Ответ: $R = 8$ см.

б) радиус его вписанной окружности;

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем площадь треугольника $S$. Площадь можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, используя две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin 120^\circ$

Зная, что $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}$ см².

2. Найдем полупериметр $p$. Для этого сначала нужно найти длину основания $AC$. Используем теорему косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ$

Зная, что $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$:

$AC^2 = 64 + 64 - 128 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 128 + 64 = 192$

$AC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{8 + 8 + 8\sqrt{3}}{2} = \frac{16 + 8\sqrt{3}}{2} = 8 + 4\sqrt{3}$ см.

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{16\sqrt{3}}{8 + 4\sqrt{3}}$

Вынесем в знаменателе общий множитель 4:

$r = \frac{16\sqrt{3}}{4(2 + \sqrt{3})} = \frac{4\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 - \sqrt{3})$:

$r = \frac{4\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2 - 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{8\sqrt{3} - 4 \cdot 3}{4 - 3} = \frac{8\sqrt{3} - 12}{1} = 8\sqrt{3} - 12$ см.

Ответ: $r = 8\sqrt{3} - 12$ см.