Номер 98, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

98. Дан равнобедренный треугольник $\mathit{ABC}$ с основанием $\mathit{AC}$, $O_1$ — центр описанной, $O_2$ — центр вписанной окружности. Найдите длину отрезка $O_1O_2$, если $\mathit{AB} = 20$ см, высота $\mathit{BH} = 16$ см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, боковыми сторонами $AB=BC=20$ см и высотой $BH=16$ см, проведенной к основанию.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что:

• $H$ – середина $AC$.
• $BH$ – биссектриса угла $\angle ABC$.

Центр описанной окружности $O_1$ лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Центр вписанной окружности $O_2$ лежит на пересечении биссектрис углов. В равнобедренном треугольнике оба центра, $O_1$ и $O_2$, лежат на высоте $BH$. Поэтому для нахождения расстояния $O_1O_2$ нам нужно найти положение каждого центра на отрезке $BH$.

1. Нахождение длины основания AC

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (поскольку $BH$ – высота, $\angle BHA = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем катет $AH$:

$AH^2 = AB^2 - BH^2$

$AH = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$ см.

Так как $BH$ – медиана, то $H$ – середина $AC$. Следовательно, $AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 12 = 24$ см.

2. Нахождение положения центра описанной окружности O₁

Радиус описанной окружности $R$ можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $S$ – его площадь.

Найдем площадь треугольника $ABC$:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 192$ см$^2$.

Теперь найдем радиус описанной окружности:

$R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{20 \cdot 20 \cdot 24}{4 \cdot 192} = \frac{9600}{768} = 12.5$ см.

Центр описанной окружности $O_1$ равноудален от вершин треугольника, поэтому $O_1B = R = 12.5$ см. Так как $O_1$ лежит на отрезке $BH$, его расстояние от точки $H$ равно:

$HO_1 = BH - O_1B = 16 - 12.5 = 3.5$ см.

3. Нахождение положения центра вписанной окружности O₂

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $p$ – полупериметр треугольника.

Найдем полупериметр:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{20 + 20 + 24}{2} = \frac{64}{2} = 32$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p} = \frac{192}{32} = 6$ см.

Центр вписанной окружности $O_2$ равноудален от сторон треугольника. Расстояние от $O_2$ до основания $AC$ равно радиусу $r$. Так как $O_2$ лежит на $BH$, то его расстояние от точки $H$ равно $r$.

$HO_2 = r = 6$ см.

4. Нахождение расстояния O₁O₂

Оба центра $O_1$ и $O_2$ лежат на отрезке $BH$. Мы нашли их расстояния от точки $H$: $HO_1 = 3.5$ см и $HO_2 = 6$ см. Расстояние между ними равно модулю разности этих расстояний:

$O_1O_2 = |HO_2 - HO_1| = |6 - 3.5| = 2.5$ см.

Ответ: 2.5 см.