Номер 100, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

100. Косинус угла при основании равнобедренного треугольника равен 0,8, периметр треугольника равен 54 см. Найдите:

а) радиус его вписанной окружности;

б) радиус его описанной окружности.

Пусть в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны $b$, а основание равно $a$. Углы при основании обозначим как $\alpha$.

По условию, периметр треугольника $P = a + 2b = 54$ см, а косинус угла при основании $\cos \alpha = 0,8$.

Проведем высоту к основанию, которая разделит его на два равных отрезка длиной $a/2$. В получившемся прямоугольном треугольнике отношение прилежащего катета ($a/2$) к гипотенузе ($b$) равно косинусу угла $\alpha$:
$\cos \alpha = \frac{a/2}{b} = \frac{a}{2b}$

Подставим известное значение косинуса:
$0,8 = \frac{a}{2b} \Rightarrow a = 1,6b$

Теперь подставим это выражение в формулу периметра:
$1,6b + 2b = 54$
$3,6b = 54$
$b = \frac{54}{3,6} = \frac{540}{36} = 15$ см.

Найдем длину основания:
$a = 1,6 \cdot 15 = 24$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны 15 см, 15 см и 24 см.

а) радиус его вписанной окружности;

Радиус вписанной окружности $r$ вычисляется по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Для нахождения площади $S$ найдем сначала синус угла $\alpha$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:
$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (0,8)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$.

Площадь треугольника можно найти, зная высоту. Высота $h$, проведенная к основанию, находится из прямоугольного треугольника: $h = b \sin \alpha = 15 \cdot 0,6 = 9$ см.
Тогда площадь $S = \frac{1}{2} a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108$ см$^2$.

Теперь находим радиус вписанной окружности:
$r = \frac{S}{p} = \frac{108}{27} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

б) радиус его описанной окружности.

Радиус описанной окружности $R$ можно найти, используя теорему синусов: $\frac{b}{\sin \alpha} = 2R$.

Отсюда $R = \frac{b}{2 \sin \alpha}$. Мы уже знаем, что боковая сторона $b = 15$ см и $\sin \alpha = 0,6$.

Подставляем значения:
$R = \frac{15}{2 \cdot 0,6} = \frac{15}{1,2} = \frac{150}{12} = \frac{25}{2} = 12,5$ см.

Другой способ — использование формулы $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника. В нашем случае это $a, b, b$.
$R = \frac{a \cdot b \cdot b}{4S} = \frac{24 \cdot 15 \cdot 15}{4 \cdot 108} = \frac{5400}{432} = 12,5$ см.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 12,5 см.