Номер 103, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

103. а) В треугольнике $ABC$ $\angle A = 30^\circ$, $BC = 6$ см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

б) В треугольнике $ABC$ $AB = 10$ см, $BC = 16$ см, высота $BH = 8$ см. Найдите радиус $R$ описанной окружности.

а) Для нахождения диаметра окружности, описанной около треугольника, используется следствие из теоремы синусов. Оно гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно диаметру ($D$) описанной окружности:

$D = 2R = \frac{a}{\sin\alpha}$

В данном треугольнике $ABC$ известна сторона $BC = 6$ см и противолежащий ей угол $\angle A = 30^{\circ}$.

Подставим эти значения в формулу:

$D = \frac{BC}{\sin{\angle A}} = \frac{6}{\sin{30^{\circ}}}$

Значение синуса $30^{\circ}$ равно $\frac{1}{2}$. Следовательно:

$D = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

б) Для нахождения радиуса ($R$) описанной окружности снова воспользуемся следствием из теоремы синусов:

$2R = \frac{a}{\sin\alpha}$

где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

В треугольнике $ABC$ проведена высота $BH=8$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. В этом треугольнике гипотенузой является сторона $BC = 16$ см, а катетом — высота $BH = 8$ см. Мы можем найти синус угла $C$ из определения синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin{\angle C} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{BC} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Теперь, зная синус угла $C$, мы можем использовать в теореме синусов сторону $AB$, которая лежит напротив этого угла. Длина стороны $AB = 10$ см.

$2R = \frac{AB}{\sin{\angle C}}$

Подставим известные значения:

$2R = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 10 \cdot 2 = 20$ см.

Из этого уравнения находим радиус $R$:

$R = \frac{20}{2} = 10$ см.

Ответ: 10 см.