Номер 109, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

109. Дан остроугольный треугольник $ABC$, $H$ — точка пересечения его высот (ортоцентр), $O$ — центр описанной окружности. Точки $O, H, A$ и $C$ лежат на одной окружности. Найдите величину угла $B$.

Пусть $\angle B$ — искомая величина угла треугольника $ABC$.

Сначала найдем выражение для угла $\angle AHC$ через $\angle B$.

Пусть $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$, то есть точка пересечения его высот. Проведем высоты $AA_1$ из вершины $A$ к стороне $BC$ и $CC_1$ из вершины $C$ к стороне $AB$. Точка $H$ является их пересечением.

Рассмотрим четырехугольник $C_1BA_1H$. Углы $\angle BC_1H$ и $\angle BA_1H$ в этом четырехугольнике прямые, так как $CC_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp BC$. Сумма противоположных углов $\angle BC_1H + \angle BA_1H = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Свойство вписанного четырехугольника выполнено, значит, вокруг $C_1BA_1H$ можно описать окружность.

Для вписанного четырехугольника сумма другой пары противоположных углов также равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle C_1HA_1 + \angle C_1BA_1 = 180^\circ$. Угол $\angle C_1BA_1$ — это и есть угол $\angle B$ треугольника $ABC$.

Таким образом, $\angle C_1HA_1 = 180^\circ - \angle B$.

Углы $\angle AHC$ и $\angle C_1HA_1$ являются вертикальными, а значит, они равны: $\angle AHC = \angle C_1HA_1$. Из этого следует, что $\angle AHC = 180^\circ - \angle B$.

Теперь найдем выражение для угла $\angle AOC$.

Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами этой окружности, поэтому $OA = OC$, и треугольник $AOC$ — равнобедренный.

Угол $\angle AOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AC$. Угол $\angle B$ — это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $AC$.

Так как треугольник $ABC$ остроугольный, центр описанной окружности $O$ лежит внутри него. В этом случае величина центрального угла вдвое больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу: $\angle AOC = 2\angle B$.

По условию задачи, точки $O, H, A$ и $C$ лежат на одной окружности. Это означает, что четырехугольник $AOHC$ (или $AHOC$) является вписанным в некоторую окружность.

Поскольку треугольник $ABC$ остроугольный, его ортоцентр $H$ и центр описанной окружности $O$ находятся внутри треугольника. Следовательно, точки $H$ и $O$ лежат по одну сторону от прямой $AC$.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду (в данном случае $AC$) и расположенные по одну сторону от нее, равны.

Поэтому должно выполняться равенство: $\angle AHC = \angle AOC$.

Подставим в это равенство найденные ранее выражения для углов:

$180^\circ - \angle B = 2\angle B$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $\angle B$:

$3\angle B = 180^\circ$

$\angle B = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.