Номер 104, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

104. В треугольнике $ABC$ $AB = 5$, $BC = 8$, $AC = 7$. Окружность, вписанная в треугольник, касается указанных сторон соответственно в точках $M$, $N$, $K$. Найдите:

а) длину отрезка $AK$;

б) $AK + MB + NC$.

а) длину отрезка АК;

Пусть $M$, $N$, $K$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки касательных от вершины до точек касания равны.

Следовательно, мы имеем следующие равенства:

$AK = AM$

$BM = BN$

$CK = CN$

Обозначим $AK = x$. Тогда $AM = x$.
Так как $AB = 5$, то $MB = AB - AM = 5 - x$.
Из равенства $BM = BN$ следует, что $BN = 5 - x$.
Так как $AC = 7$, то $CK = AC - AK = 7 - x$.
Из равенства $CK = CN$ следует, что $CN = 7 - x$.

Сторона $BC$ состоит из отрезков $BN$ и $NC$. По условию $BC=8$.

Таким образом, мы можем составить уравнение:

$BN + NC = BC$

$(5 - x) + (7 - x) = 8$

$12 - 2x = 8$

$2x = 12 - 8$

$2x = 4$

$x = 2$

Таким образом, длина отрезка $AK$ равна 2.

Другой способ решения основан на формуле, связывающей длину отрезка касательной с полупериметром треугольника.

Периметр треугольника $P = AB + BC + AC = 5 + 8 + 7 = 20$.

Полупериметр $p = P/2 = 20/2 = 10$.

Длина отрезка от вершины до точки касания равна разности полупериметра и противолежащей стороны.

Для отрезка $AK$ противолежащей стороной является $BC$.

$AK = p - BC = 10 - 8 = 2$.

Ответ: 2

б) АК + MB + NC.

Используя обозначения и результаты из пункта а), мы нашли:

$AK = x = 2$

$MB = 5 - x = 5 - 2 = 3$

$NC = 7 - x = 7 - 2 = 5$

Теперь найдем их сумму:

$AK + MB + NC = 2 + 3 + 5 = 10$

Стоит заметить, что сумма $AK + MB + NC$ представляет собой полупериметр треугольника. Проверим это:

$AK + MB + NC = AM + BN + CK$.

Периметр $P = (AM + MB) + (BN + NC) + (CK + KA) = 2(AM + BN + CK) = 2(AK + MB + NC)$.

Следовательно, $AK + MB + NC = P/2 = p$.

Полупериметр $p = (5+8+7)/2 = 20/2 = 10$.

$AK + MB + NC = 10$.

Ответ: 10