Номер 102, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

102. Окружность с центром в точке O описана около треугольника ABC (рис. 106), $OB = R$ — радиус окружности, $BC = a$, $AC = b$, $CH = h_c$ — высота, $OM \perp BC$. Докажите, что:

a) $\angle MOB = \angle A;$

б) $\frac{CH}{AC} = \frac{MB}{OB};$

в) $R = \frac{ab}{2h_c}.$

Рис. 106

a) Угол $\angle BOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $BC$, а угол $\angle BAC$ (или $\angle A$) — вписанным углом, опирающимся на ту же дугу. По свойству углов в окружности, градусная мера центрального угла в два раза больше градусной меры вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Таким образом, $\angle BOC = 2\angle A$.

Треугольник $\triangle OBC$ является равнобедренным, так как $OB$ и $OC$ — радиусы одной и той же окружности ($OB = OC = R$). По условию $OM \perp BC$, значит $OM$ — высота треугольника $\triangle OBC$, проведенная к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и биссектрисой. Следовательно, $OM$ делит угол $\angle BOC$ пополам, то есть $\angle BOC = 2\angle MOB$.

Приравнивая два полученных выражения для угла $\angle BOC$, имеем $2\angle MOB = 2\angle A$, откуда следует, что $\angle MOB = \angle A$.

Ответ: Равенство $\angle MOB = \angle A$ доказано.

б) В пункте а) было доказано, что $\angle MOB = \angle A$. Так как углы равны, то равны и их синусы: $sin(\angle MOB) = sin(\angle A)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMB$ ($\angle OMB = 90^\circ$, так как $OM \perp BC$). Из определения синуса острого угла в прямоугольном треугольнике следует, что $sin(\angle MOB) = \frac{MB}{OB}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$ ($\angle AHC = 90^\circ$, так как $CH$ — высота). Из определения синуса следует, что $sin(\angle A) = \frac{CH}{AC}$.

Поскольку $sin(\angle MOB) = sin(\angle A)$, мы можем приравнять правые части полученных равенств: $\frac{MB}{OB} = \frac{CH}{AC}$. Это то же самое, что и $\frac{CH}{AC} = \frac{MB}{OB}$.

Ответ: Равенство $\frac{CH}{AC} = \frac{MB}{OB}$ доказано.

в) Воспользуемся равенством, доказанным в пункте б): $\frac{CH}{AC} = \frac{MB}{OB}$.

Подставим в это равенство обозначения, данные в условии: $CH = h_c$, $AC = b$, $OB = R$. Получим: $\frac{h_c}{b} = \frac{MB}{R}$.

Так как $OM$ является перпендикуляром из центра окружности к хорде $BC$, то $OM$ делит эту хорду пополам. Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $BC$. Следовательно, $MB = \frac{1}{2}BC$. По условию, $BC = a$, поэтому $MB = \frac{a}{2}$.

Подставим выражение для $MB$ в нашу пропорцию: $\frac{h_c}{b} = \frac{a/2}{R}$. Преобразуем правую часть: $\frac{h_c}{b} = \frac{a}{2R}$.

Из этого равенства выразим радиус $R$. По свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних: $h_c \cdot 2R = a \cdot b$. Разделив обе части на $2h_c$, получаем итоговую формулу: $R = \frac{ab}{2h_c}$.

Ответ: Равенство $R = \frac{ab}{2h_c}$ доказано.