номер 95, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

95. a) При помощи циркуля и линейки опишите окружность около тупо-угольного треугольника.

б) При помощи циркуля и линейки впишите окружность в прямо-угольный треугольник.

а)

Чтобы описать окружность около тупоугольного треугольника с помощью циркуля и линейки, необходимо найти центр этой окружности. Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Для тупоугольного треугольника эта точка всегда находится вне треугольника.

Алгоритм построения:

1. Пусть дан тупоугольный треугольник $ABC$.
2. Построим серединный перпендикуляр к стороне $AB$. Для этого:
   • Установим раствор циркуля больше половины длины отрезка $AB$.
   • Проведем две дуги с центром в точке $A$ и с центром в точке $B$ так, чтобы они пересеклись в двух точках (назовем их $M_1$ и $N_1$).
   • С помощью линейки проведем прямую через точки $M_1$ и $N_1$. Эта прямая является серединным перпендикуляром к стороне $AB$.
3. Аналогично построим серединный перпендикуляр ко второй стороне, например, $BC$. Для этого:
   • Установим раствор циркуля больше половины длины отрезка $BC$.
   • Проведем две дуги с центром в точке $B$ и с центром в точке $C$ так, чтобы они пересеклись в двух точках (назовем их $M_2$ и $N_2$).
   • С помощью линейки проведем прямую через точки $M_2$ и $N_2$.
4. Точку пересечения двух построенных серединных перпендикуляров обозначим буквой $O$. Эта точка и является центром описанной окружности. Для нахождения центра достаточно пересечения двух серединных перпендикуляров, так как третий также пройдет через эту точку.
5. Установим ножку циркуля в точку $O$, а грифель — в любую из вершин треугольника (например, в точку $A$). Расстояние $OA$ будет радиусом описанной окружности.
6. Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$. Эта окружность пройдет через все три вершины треугольника $A$, $B$ и $C$.

Ответ: Построенная окружность с центром в точке пересечения серединных перпендикуляров и радиусом, равным расстоянию от центра до любой из вершин, является описанной около данного тупоугольного треугольника.

б)

Чтобы вписать окружность в прямоугольный треугольник с помощью циркуля и линейки, нужно найти ее центр и радиус. Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Радиус — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на любую из сторон треугольника.

Алгоритм построения:

1. Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$.
2. Построим биссектрису одного из острых углов, например, угла $A$. Для этого:
   • Установим ножку циркуля в вершину $A$ и проведем дугу произвольного радиуса, пересекающую стороны $AC$ и $AB$ в точках $P_1$ и $P_2$.
   • Из точек $P_1$ и $P_2$ проведем две дуги одинакового (можно произвольного) радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла.
   • С помощью линейки проведем луч из вершины $A$ через полученную точку пересечения дуг. Этот луч является биссерисой угла $A$.
3. Аналогично построим биссектрису другого острого угла, $B$.
   • Установим ножку циркуля в вершину $B$ и проведем дугу, пересекающую стороны $BC$ и $AB$ в точках $Q_1$ и $Q_2$.
   • Из точек $Q_1$ и $Q_2$ проведем две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла.
   • С помощью линейки проведем луч из вершины $B$ через полученную точку пересечения дуг.
4. Точку пересечения двух построенных биссектрис обозначим буквой $I$. Эта точка является центром вписанной окружности. Достаточно построить две биссектрисы, так как третья (из прямого угла $C$) также пройдет через эту точку.
5. Теперь найдем радиус вписанной окружности. Для этого нужно опустить перпендикуляр из центра $I$ на любую из сторон (например, на катет $AC$). В прямоугольном треугольнике это сделать проще всего: так как катеты $AC$ и $BC$ перпендикулярны, то перпендикуляры из точки $I$ на катеты будут параллельны другим катетам. Но для общего метода построения перпендикуляра:
   • Установим ножку циркуля в точку $I$ и проведем дугу, пересекающую сторону $AC$ в двух точках.
   • Из этих двух точек на стороне $AC$ проведем две одинаковые дуги так, чтобы они пересеклись.
   • Проведем прямую через точку $I$ и эту новую точку пересечения. Отрезок от точки $I$ до стороны $AC$ вдоль этой прямой будет перпендикуляром. Обозначим точку касания на стороне $AC$ как $K$. Длина отрезка $IK$ и есть радиус $r$.
6. Установим ножку циркуля в центр $I$, а грифель — в точку $K$. Радиус циркуля теперь равен радиусу вписанной окружности $r = IK$.
7. Проведем окружность с центром $I$ и радиусом $r$. Она коснется всех трех сторон треугольника.

Ответ: Построенная окружность с центром в точке пересечения биссектрис и радиусом, равным длине перпендикуляра от центра до любой стороны, является вписанной в данный прямоугольный треугольник.