Номер 94, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

94. а) Найдите радиус $R$ описанной и радиус $r$ вписанной окружности равностороннего треугольника, если его высота $h = 12$ см.

б) Найдите площадь равностороннего треугольника, если радиус $R$ его описанной окружности равен 2 см.

а) В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Этот центр лежит на высоте (которая также является медианой и биссектрисой) и делит ее в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности $R$ равен большей части высоты, а радиус вписанной окружности $r$ — меньшей.
Таким образом, для высоты $h$ равностороннего треугольника справедливы следующие формулы:
Радиус описанной окружности: $R = \frac{2}{3}h$
Радиус вписанной окружности: $r = \frac{1}{3}h$
По условию, высота $h = 12$ см. Подставим это значение в формулы:
$R = \frac{2}{3} \cdot 12 = 2 \cdot 4 = 8$ см.
$r = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ см.
Ответ: $R = 8$ см, $r = 4$ см.

б) Для нахождения площади равностороннего треугольника $S$ можно использовать формулу $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, где $a$ — сторона треугольника. Сначала найдем сторону треугольника, зная радиус описанной окружности $R$.
Связь между стороной равностороннего треугольника и радиусом описанной окружности выражается формулой: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, откуда $a = R\sqrt{3}$.
По условию, радиус $R = 2$ см. Найдем сторону $a$:
$a = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Теперь подставим значение стороны в формулу площади:
$S = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$ см².
Ответ: $3\sqrt{3}$ см².