Номер 92, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

92. а) Используя ключевую задачу 2 (с. 61), найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 6$ см и высотой $BH = 4$ см, проведенной к основанию (рис. 104).

б) Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 10$ см и боковой стороной $AB = 13$ см (рис. 105).

Рис. 104

Рис. 105

а)

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 6$ см и высотой $BH = 4$ см. Центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте $BH$, так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Поскольку $BH$ — медиана, она делит основание $AC$ пополам. Следовательно, $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем длину боковой стороны $AB$:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

Центр вписанной окружности $O$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Таким образом, отрезок $AO$ является биссектрисой угла $BAH$. Ключевая задача, на которую ссылается условие, заключается в использовании свойства биссектрисы угла в треугольнике. Применим свойство биссектрисы к треугольнику $ABH$, в котором $AO$ является биссектрисой:

$\frac{BO}{OH} = \frac{AB}{AH}$

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. Тогда $OH = r$. Точка $O$ лежит на отрезке $BH$, поэтому $BO = BH - OH = 4 - r$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{4 - r}{r} = \frac{5}{3}$

Решим полученное уравнение относительно $r$:

$3(4 - r) = 5r$

$12 - 3r = 5r$

$12 = 8r$

$r = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$ см.

Ответ: 1,5 см.

б)

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 10$ см и боковой стороной $AB = 13$ см. Для нахождения радиуса вписанной окружности нам понадобится высота треугольника, проведенная к основанию.

Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, поэтому она делит основание пополам: $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

$BH = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Как и в предыдущем пункте, используем свойство центра вписанной окружности. Центр $O$ лежит на высоте $BH$, и $AO$ является биссектрисой угла $BAH$. По свойству биссектрисы угла в треугольнике $ABH$ имеем:

$\frac{BO}{OH} = \frac{AB}{AH}$

Пусть радиус вписанной окружности равен $r$. Тогда $OH = r$, а $BO = BH - OH = 12 - r$.

Подставим известные значения в это соотношение:

$\frac{12 - r}{r} = \frac{13}{5}$

Решим это уравнение:

$5(12 - r) = 13r$

$60 - 5r = 13r$

$60 = 18r$

$r = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$ см.

Ответ: $\frac{10}{3}$ см.