Номер 99, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

99. а) Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит точкой касания его боковую сторону на отрезки, равные 6 см и 4 см, считая от основания. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

б) Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведенную к основанию, в отношении $4:5$, считая от основания. Найдите площадь треугольника, если его боковая сторона равна 20 см.

а)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC$. Окружность, вписанная в треугольник, касается боковой стороны $BC$ в точке $N$, а основания $AC$ в точке $M$.

По условию, точка касания $N$ делит боковую сторону $BC$ на отрезки, равные 6 см и 4 см, считая от основания. Это означает, что отрезок, примыкающий к основанию (к вершине $C$), равен 6 см, а другой отрезок равен 4 см. Таким образом, $CN = 6$ см и $BN = 4$ см.

Длина боковой стороны треугольника равна $BC = BN + CN = 4 + 6 = 10$ см. Так как треугольник равнобедренный, то и другая боковая сторона $AB = 10$ см.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от вершины до точек касания равны.

• Из вершины $C$: $CM = CN = 6$ см.
• Из вершины $B$: отрезки касательных к сторонам $AB$ и $BC$ равны, то есть $BK = BN = 4$ см, где $K$ - точка касания на стороне $AB$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Точка касания вписанной окружности с основанием ($M$) совпадает с основанием высоты и делит основание пополам. Следовательно, $AM = MC$. Так как $MC = 6$ см, то и $AM=6$ см.

Длина основания треугольника $AC = AM + MC = 6 + 6 = 12$ см.

Итак, стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 12 см.

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле $S = p \cdot r$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Для нахождения площади $S$ найдем высоту $BH$, проведенную к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, поэтому $H$ — середина $AC$ и $HC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора:

$BH^2 + HC^2 = BC^2$

$BH^2 + 6^2 = 10^2$

$BH^2 + 36 = 100$

$BH^2 = 64$

$BH = 8$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $ABC$:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см².

Наконец, вычислим радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$ см.

Ответ: $3$ см.

б)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC = 20$ см. Пусть $BH$ — высота, проведенная к основанию $AC$. Центр вписанной окружности $O$ лежит на этой высоте.

В равнобедренном треугольнике высота $BH$ является также медианой и биссектрисой. Точка $H$ является точкой касания вписанной окружности с основанием $AC$. Расстояние от центра вписанной окружности $O$ до стороны $AC$ равно радиусу $r$, то есть $OH = r$.

По условию, центр $O$ делит высоту $BH$ в отношении $4:5$, считая от основания. Это означает, что $OH : OB = 4 : 5$.

Так как $OH = r$, мы можем выразить $OB$:

$\frac{r}{OB} = \frac{4}{5} \Rightarrow OB = \frac{5}{4}r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. $CO$ является биссектрисой угла $BCH$. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону ($BH$) на отрезки ($OB$ и $OH$), пропорциональные прилежащим сторонам ($BC$ и $HC$):

$\frac{OB}{OH} = \frac{BC}{HC}$

Мы знаем, что $\frac{OB}{OH} = \frac{5}{4}$ и $BC=20$ см. Подставим эти значения в пропорцию:

$\frac{5}{4} = \frac{20}{HC}$

Из этой пропорции найдем длину отрезка $HC$:

$5 \cdot HC = 4 \cdot 20$

$5 \cdot HC = 80$

$HC = \frac{80}{5} = 16$ см.

Так как высота $BH$ является и медианой, то основание $AC = 2 \cdot HC = 2 \cdot 16 = 32$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $BHC$ найдем высоту $BH$ по теореме Пифагора:

$BH^2 + HC^2 = BC^2$

$BH^2 + 16^2 = 20^2$

$BH^2 + 256 = 400$

$BH^2 = 400 - 256 = 144$

$BH = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $ABC$:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 12 = 16 \cdot 12 = 192$ см².

Ответ: $192$ см².