Номер 106, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

106. В равносторонний треугольник $ABC$ вписана окружность, радиус которой равен 24. Отрезок $MK$ касается этой окружности и параллелен стороне $AC$ (рис. 108). Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $MBK$.

Puc. 107

Puc. 108

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. Обозначим радиус вписанной в него окружности с центром в точке $O$ как $R$. По условию задачи $R=24$.

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности, являющийся точкой пересечения биссектрис, совпадает с точкой пересечения медиан (центроидом). Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Эта высота также является медианой и биссектрисой. Центр $O$ лежит на высоте $BH$.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, $BO : OH = 2 : 1$. Радиус вписанной окружности $R$ — это длина перпендикуляра, опущенного из центра $O$ на сторону треугольника, то есть $R = OH$.

Используя данные, найдем длину высоты $BH$ треугольника $ABC$:
$OH = R = 24$.
$BO = 2 \cdot OH = 2 \cdot 24 = 48$.
Высота $BH = BO + OH = 48 + 24 = 72$.

По условию, отрезок $MK$ параллелен стороне $AC$ ($MK \parallel AC$). Это означает, что треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$. Поскольку $ABC$ — равносторонний, то и $MBK$ — равносторонний треугольник ($\angle B = 60^\circ$, $\angle BMK = \angle BAC = 60^\circ$, $\angle BKM = \angle BCA = 60^\circ$ как соответственные углы).

Отрезок $MK$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Так как высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$, она также перпендикулярна и параллельной ей прямой $MK$. Пусть $P$ — точка пересечения $BH$ и $MK$. Тогда $P$ — точка касания прямой $MK$ и окружности. Следовательно, отрезок $OP$ является радиусом окружности, и его длина $OP=R=24$.

Высотой треугольника $MBK$, проведенной из вершины $B$, является отрезок $BP$. Длину этого отрезка можно найти как разность длин отрезков $BO$ и $OP$:
$BP = BO - OP = 48 - 24 = 24$.

Теперь необходимо найти радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник $MBK$. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной трети его высоты.
$r = \frac{1}{3} \cdot BP = \frac{1}{3} \cdot 24 = 8$.

Ответ: 8