Тест 2, страница 70 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

Найдите радиус окружности, вписанной в изображенный треугольник.

а) 2; б) 3; в) 5; г) 4,5.

13

5

12

Для нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник, необходимо определить свойства этого треугольника. Нам даны длины его сторон: $a = 5$, $b = 12$ и $c = 13$.

Проверим, является ли данный треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Согласно этой теореме, если сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату большей стороны, то треугольник является прямоугольным.

Вычислим квадраты сторон:

$a^2 = 5^2 = 25$

$b^2 = 12^2 = 144$

$c^2 = 13^2 = 169$

Теперь проверим равенство: $a^2 + b^2 = 25 + 144 = 169$.

Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$ ($169 = 169$), треугольник является прямоугольным. Стороны длиной 5 и 12 являются его катетами, а сторона длиной 13 — гипотенузой.

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно вычислить по специальной формуле:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

Подставим значения длин сторон в формулу:

$r = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 2. Этот результат соответствует варианту ответа а).

Ответ: 2.