Номер 113, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

113. а) Найдите площадь прямоугольного треугольника $ABC$, если у него один из катетов равен 6 см, а радиус описанной окружности — 5 см.

б) Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен 8 см, а синус противолежащего ему угла равен $\frac{2}{3}$.

а)

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится на середине гипотенузы, а ее радиус $R$ равен половине длины гипотенузы $c$.

По условию, радиус описанной окружности $R = 5$ см. Следовательно, гипотенуза треугольника равна:

$c = 2R = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Пусть один из катетов, назовем его $a$, равен 6 см. Второй катет $b$ можно найти с помощью теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения:

$6^2 + b^2 = 10^2$

$36 + b^2 = 100$

$b^2 = 100 - 36$

$b^2 = 64$

$b = \sqrt{64} = 8$ см.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см$^2$.

Ответ: 24 см$^2$.

б)

Для любого треугольника верна теорема синусов, согласно которой отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности ($2R$):

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

В условии задачи дан прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен $a = 8$ см, а синус противолежащего ему угла $\alpha$ равен $\sin \alpha = \frac{2}{3}$.

Подставим эти значения в формулу теоремы синусов, чтобы найти диаметр описанной окружности $2R$:

$2R = \frac{8}{\frac{2}{3}}$

$2R = 8 \cdot \frac{3}{2}$

$2R = 12$ см.

Отсюда находим радиус $R$:

$R = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.