Номер 116, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

116. Расстояние от центра окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, до гипотенузы равно 6 см. Найдите расстояние от этого центра до вершины прямого угла.

Пусть дан прямоугольный треугольник, а $I$ — центр вписанной в него окружности. Радиус вписанной окружности, который мы обозначим как $r$, по определению равен расстоянию от центра $I$ до любой из сторон треугольника.

Согласно условию задачи, расстояние от центра окружности до гипотенузы равно 6 см. Это означает, что радиус вписанной окружности $r$ равен 6 см: $r = 6$ см.

Теперь найдем расстояние от центра $I$ до вершины прямого угла. Обозначим вершину прямого угла буквой $C$, а прилежащие к ней катеты — $AC$ и $BC$. Центр вписанной окружности $I$ равноудален от всех сторон треугольника, поэтому расстояние от точки $I$ до катета $AC$ равно $r$, и расстояние от точки $I$ до катета $BC$ также равно $r$.

Проведем из центра $I$ перпендикуляры $IK$ на катет $AC$ и $IM$ на катет $BC$. Рассмотрим четырехугольник $CKIM$. В этом четырехугольнике угол $C$ прямой по условию ($ \angle KCM = 90^\circ $), угол $CKI$ прямой, так как $IK \perp AC$, и угол $CMI$ прямой, так как $IM \perp BC$. Поскольку сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$, четвертый угол $KIM$ также равен $90^\circ$. Следовательно, $CKIM$ — это прямоугольник.

Длины смежных сторон этого прямоугольника равны радиусу вписанной окружности: $IK = r = 6$ см и $IM = r = 6$ см. Прямоугольник с равными смежными сторонами является квадратом. Таким образом, фигура $CKIM$ — это квадрат со стороной, равной $r = 6$ см.

Искомое расстояние от центра $I$ до вершины прямого угла $C$ является длиной диагонали $IC$ этого квадрата. Длина диагонали $d$ квадрата со стороной $a$ вычисляется по теореме Пифагора или по формуле $d = a\sqrt{2}$.

Подставив значение стороны квадрата $a = r = 6$ см, получим искомое расстояние $IC$:

$IC = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.