Номер 123, страница 73 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

123. а) В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные 3 см и 4 см. Найдите площадь треугольника.

б) Докажите, что если точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные $m$ и $n$, то площадь треугольника можно найти по формуле $S = mn$.

B

C

а)

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Обозначим катеты как $a=BC$ и $b=AC$, а гипотенузу как $c=AB$.

Вписанная окружность с центром $O$ и радиусом $r$ касается гипотенузы $AB$ в точке $K$, катета $BC$ в точке $M$ и катета $AC$ в точке $N$.

По условию, точка касания $K$ делит гипотенузу на отрезки длиной 3 см и 4 см. Пусть $AK = 4$ см и $KB = 3$ см.

Длина гипотенузы $c = AK + KB = 4 + 3 = 7$ см.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки касательных равны:

$AN = AK = 4$ см

$BM = BK = 3$ см

Рассмотрим четырехугольник $CMON$. В нем углы $C$, $M$ и $N$ прямые ($\angle C = 90^\circ$ по условию, $\angle CMO = \angle CNO = 90^\circ$ как углы между радиусом и касательной). Следовательно, $CMON$ — прямоугольник. Так как смежные стороны $CM$ и $CN$ являются радиусами окружности ($CM = CN = r$), то $CMON$ — квадрат.

Таким образом, $CM = CN = r$.

Теперь мы можем выразить длины катетов через радиус $r$:

$a = BC = BM + MC = 3 + r$

$b = AC = AN + NC = 4 + r$

Применим к треугольнику $ABC$ теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$(3 + r)^2 + (4 + r)^2 = 7^2$

$9 + 6r + r^2 + 16 + 8r + r^2 = 49$

$2r^2 + 14r + 25 = 49$

$2r^2 + 14r - 24 = 0$

Разделим обе части на 2:

$r^2 + 7r - 12 = 0$

Отсюда следует, что $r^2 + 7r = 12$.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab$.

$S = \frac{1}{2}(3+r)(4+r) = \frac{1}{2}(12 + 3r + 4r + r^2) = \frac{1}{2}(12 + 7r + r^2)$

Также площадь любого треугольника можно найти по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр.

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{(3+r) + (4+r) + 7}{2} = \frac{14 + 2r}{2} = 7+r$

$S = (7+r)r = 7r + r^2$

Мы получили, что площадь треугольника равна $S = 7r + r^2$. Из уравнения, полученного по теореме Пифагора, мы знаем, что $r^2 + 7r = 12$.

Следовательно, площадь треугольника равна $12$ см$^2$.

Ответ: $S = 12 \text{ см}^2$.

б)

Пусть в прямоугольном треугольнике с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные $m$ и $n$.

Тогда гипотенуза $c = m + n$.

Аналогично пункту а), пусть радиус вписанной окружности равен $r$. Тогда катеты треугольника можно выразить как:

$a = n + r$

$b = m + r$

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$(n + r)^2 + (m + r)^2 = (m + n)^2$

Раскроем скобки:

$n^2 + 2nr + r^2 + m^2 + 2mr + r^2 = m^2 + 2mn + n^2$

Сократим одинаковые слагаемые $m^2$ и $n^2$ в обеих частях уравнения:

$2nr + 2mr + 2r^2 = 2mn$

Разделим все члены уравнения на 2:

$nr + mr + r^2 = mn$

Вынесем $r$ за скобки в левой части:

$r(n + m + r) = mn$

Теперь рассмотрим площадь треугольника $S$. Площадь можно найти через радиус вписанной окружности и полупериметр $p$: $S = p \cdot r$.

Полупериметр $p$ равен:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{(n+r)+(m+r)+(m+n)}{2} = \frac{2m+2n+2r}{2} = m+n+r$

Подставим $p$ в формулу площади:

$S = (m+n+r) \cdot r = r(m+n+r)$

Сравнивая два полученных выражения:

1. Из теоремы Пифагора: $mn = r(m+n+r)$

2. Из формулы площади: $S = r(m+n+r)$

Мы видим, что левые части обоих выражений равны одной и той же величине. Следовательно, $S = mn$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $S=mn$.