Номер 125, страница 80 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

125. Около четырехугольника $ABCD$ описана окружность. Используя данные рисунков 133, а)—в), найдите величину угла, обозначенного знаком вопроса.

a) $\angle A = 85^\circ$

б) $\angle CAD = 43^\circ, \angle BAC = 57^\circ$

в) $\stackrel{\frown}{BC} = 60^\circ, \stackrel{\frown}{CD} = 50^\circ$

Рис. 133

а)

Поскольку четырехугольник ABCD вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Углы A и C являются противоположными, следовательно, $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

По данным рисунка, $\angle A = 85^\circ$.

Найдем искомый угол C:

$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ$.
Ответ: $95^\circ.$

б)

Чтобы найти угол D, воспользуемся свойством вписанного четырехугольника: $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Для этого сначала найдем величину угла B ($\angle ABC$).

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Известны два угла: $\angle BAC = 57^\circ$ и $\angle BCA = 43^\circ$.

Найдем угол $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (57^\circ + 43^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Теперь, зная угол B, найдем искомый угол D:

$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
Ответ: $100^\circ.$

в)

Искомый угол C ($\angle BCD$) является противоположным углу A ($\angle BAD$). По свойству вписанного четырехугольника, $\angle A + \angle C = 180^\circ$. Найдем сначала угол A.

Угол $\angle BAD$ — это вписанный угол, который опирается на дугу BCD. Величина дуги BCD равна сумме величин дуг BC и CD, которые даны в условии.

$\smile BCD = \smile BC + \smile CD = 60^\circ + 50^\circ = 110^\circ$.

Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Таким образом:

$\angle A = \frac{1}{2} \smile BCD = \frac{1}{2} \cdot 110^\circ = 55^\circ$.

Теперь найдем искомый угол C:

$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$.
Ответ: $125^\circ.$