Номер 124, страница 73 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

124. ABCD — прямоугольник (рис. 119), в треугольник BCD вписана окружность с центром O. Докажите, что площадь прямоугольника AKOM равна половине площади прямоугольника ABCD.

Рис. 119

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник. Обозначим длины его смежных сторон: $CD = a$ и $BC = b$. Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $S_{ABCD} = a \cdot b$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его угол при вершине $C$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $BCD$ — прямоугольный, с катетами $CD = a$ и $BC = b$. По теореме Пифагора, его гипотенуза $BD$ равна $BD = \sqrt{a^2 + b^2}$.

В треугольник $BCD$ вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$. Для прямоугольного треугольника существует известное соотношение, связывающее его катеты $a, b$, гипотенузу $c$ и радиус вписанной окружности $r$: $r = \frac{a+b-c}{2}$. В нашем случае $c=BD$, поэтому $r = \frac{a+b-BD}{2}$. Из этого соотношения можно выразить гипотенузу: $BD = a + b - 2r$.

Возведем обе части последнего равенства в квадрат: $BD^2 = (a + b - 2r)^2$.

С другой стороны, по теореме Пифагора, $BD^2 = a^2 + b^2$.

Приравняем правые части этих двух выражений для $BD^2$:

$a^2 + b^2 = (a + b - 2r)^2$

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 4r(a+b) + 4r^2$

$a^2 + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 - 4r(a+b) + 4r^2$

После упрощения (сокращения $a^2$ и $b^2$ в обеих частях) получим:

$0 = 2ab - 4r(a+b) + 4r^2$

Перенесем члены, содержащие $r$, в левую часть:

$4r(a+b) - 4r^2 = 2ab$

Разделим обе части равенства на 2:

$2r(a+b) - 2r^2 = ab$

Или, вынося 2 за скобки: $2(r(a+b) - r^2) = ab$, откуда следует:

$r(a+b) - r^2 = \frac{ab}{2}$

Теперь найдем площадь прямоугольника $AKOM$. Его стороны — $AK$ и $AM$. Так как $AKOM$ является прямоугольником, его противоположные стороны равны и параллельны, то есть $AK = OM$ и $AM = OK$. Кроме того, $OM \perp AM$ и $OK \perp AK$.

Поскольку $K$ лежит на $AB$, а $M$ на $AD$, то $OK \parallel AD$ и $OM \parallel AB$.

Длина стороны $AM$ равна длине $OK$, которая представляет собой расстояние от центра $O$ до стороны $AB$. Расстояние от $O$ до стороны $CD$ (параллельной $AB$) равно радиусу $r$. Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $CD$ равно длине стороны $BC = b$. Значит, расстояние от $O$ до $AB$ равно $b-r$. Итак, $AM = b-r$.

Аналогично, длина стороны $AK$ равна длине $OM$, которая представляет собой расстояние от центра $O$ до стороны $AD$. Расстояние от $O$ до стороны $BC$ (параллельной $AD$) равно $r$. Расстояние между $AD$ и $BC$ равно $CD = a$. Значит, расстояние от $O$ до $AD$ равно $a-r$. Итак, $AK = a-r$.

Площадь прямоугольника $AKOM$ равна:

$S_{AKOM} = AK \cdot AM = (a-r)(b-r) = ab - ar - br + r^2 = ab - (ar+br-r^2) = ab - (r(a+b) - r^2)$.

Ранее мы получили, что $r(a+b) - r^2 = \frac{ab}{2}$. Подставим это выражение в формулу для площади $AKOM$:

$S_{AKOM} = ab - \frac{ab}{2} = \frac{ab}{2}$.

Так как площадь прямоугольника $ABCD$ равна $S_{ABCD} = ab$, мы приходим к выводу, что:

$S_{AKOM} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Утверждение доказано. Площадь прямоугольника $AKOM$ действительно равна половине площади прямоугольника $ABCD$.