Реальная геометрия, страница 73 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Реальная геометрия

Из двух листов МДФ, один из которых имеет форму равностороннего треугольника со стороной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120), было решено изготовить круглую столешницу для журнального столика. Для этого из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра.

Проведите расчеты и выясните:

а) из какого листа будет вырезан круг большего диаметра;

б) каким в каждом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле $S = \pi R^2$, где $\pi \approx 3,14$.

1 м

1 м

1 м

1 м

1 м

Рис. 120

Интересно знать. ОАО «Речицадрев» — деревообрабатывающее предприятие в Гомельской области Республики Беларусь, которое производит различные изделия из дерева, древесно-стружечные плиты, в том числе плиты МДФ (древесно-волокнистые плиты из очень мелких древесных опилок), топливные брикеты, синтетические смолы. Доля экспортных поставок предприятия достигает 85%.

а) Для того чтобы выяснить, из какого листа можно вырезать круг большего диаметра, найдем радиусы окружностей, вписанных в каждый из треугольников. Диаметр круга будет равен удвоенному радиусу.

1. Рассмотрим лист в форме равностороннего треугольника со стороной $a = 1$ м.
Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности ($r_1$) находится по формуле: $r_1 = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Подставим значение стороны $a = 1$ м:
$r_1 = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ м.
Тогда диаметр первого круга ($d_1$) равен:
$d_1 = 2r_1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ м.
Приближенное значение: $d_1 \approx \frac{1.732}{3} \approx 0.577$ м.

2. Рассмотрим лист в форме прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами $k = 1$ м.
Гипотенуза $c$ такого треугольника по теореме Пифагора равна: $c = \sqrt{k^2 + k^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ м.
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности ($r_2$) находится по формуле: $r_2 = \frac{k_1 + k_2 - c}{2}$, где $k_1$ и $k_2$ – катеты, а $c$ – гипотенуза.
Подставим наши значения:
$r_2 = \frac{1 + 1 - \sqrt{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ м.
Тогда диаметр второго круга ($d_2$) равен:
$d_2 = 2r_2 = 2 \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}$ м.
Приближенное значение: $d_2 \approx 2 - 1.414 = 0.586$ м.

3. Сравним полученные диаметры:
$d_1 \approx 0.577$ м,
$d_2 \approx 0.586$ м.
Так как $0.586 > 0.577$, то $d_2 > d_1$.
Следовательно, круг большего диаметра будет вырезан из листа в форме прямоугольного равнобедренного треугольника.

Ответ: круг большего диаметра будет вырезан из листа в форме прямоугольного равнобедренного треугольника.

б) Для нахождения процента отходов необходимо найти отношение площади отходов (разность площадей треугольника и круга) к площади всего листа (площади треугольника) и умножить на 100%.

1. Для листа в форме равностороннего треугольника:
Площадь треугольника ($S_{\text{тр.1}}$): $S_{\text{тр.1}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} \approx \frac{1.732}{4} = 0.433$ м².
Площадь вырезаемого круга ($S_{\text{кр.1}}$) с радиусом $r_1 = \frac{\sqrt{3}}{6}$ м:
$S_{\text{кр.1}} = \pi r_1^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \pi \frac{3}{36} = \frac{\pi}{12} \approx \frac{3.14}{12} \approx 0.262$ м².
Площадь отходов ($S_{\text{отх.1}}$): $S_{\text{отх.1}} = S_{\text{тр.1}} - S_{\text{кр.1}} \approx 0.433 - 0.262 = 0.171$ м².
Процент отходов: $\frac{S_{\text{отх.1}}}{S_{\text{тр.1}}} \times 100\% \approx \frac{0.171}{0.433} \times 100\% \approx 39.5\%$.

2. Для листа в форме прямоугольного равнобедренного треугольника:
Площадь треугольника ($S_{\text{тр.2}}$): $S_{\text{тр.2}} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot k = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0.5$ м².
Площадь вырезаемого круга ($S_{\text{кр.2}}$) с радиусом $r_2 = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ м:
$S_{\text{кр.2}} = \pi r_2^2 = \pi \left(\frac{2 - \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{4} = \pi \frac{6 - 4\sqrt{2}}{4} = \pi \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}$.
$S_{\text{кр.2}} \approx 3.14 \cdot \frac{3 - 2 \cdot 1.414}{2} = 3.14 \cdot \frac{3 - 2.828}{2} = 3.14 \cdot \frac{0.172}{2} = 3.14 \cdot 0.086 = 0.26996$ м².
Площадь отходов ($S_{\text{отх.2}}$): $S_{\text{отх.2}} = S_{\text{тр.2}} - S_{\text{кр.2}} \approx 0.5 - 0.26996 = 0.23004$ м².
Процент отходов: $\frac{S_{\text{отх.2}}}{S_{\text{тр.2}}} \times 100\% \approx \frac{0.23004}{0.5} \times 100\% \approx 46.0\%$.

Ответ: для листа в форме равностороннего треугольника процент отходов составит примерно 39,5%; для листа в форме прямоугольного равнобедренного треугольника — примерно 46,0%.