Номер 126, страница 80 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

126. ABCD — вписанный четырехугольник. Зная, что:

а) $\angle A$ на $20^\circ$ больше $\angle C$, найдите $\angle C$;

б) $\angle B : \angle D = 2 : 3$, найдите $\angle D$;

в) $\angle A + \angle B + \angle C = 284^\circ$, найдите $\angle B$;

г) $\angle A : \angle B : \angle C = 3 : 5 : 6$, найдите $\angle D$.

а) Для вписанного четырехугольника $ABCD$ сумма противолежащих углов равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle C = 180^\circ$. По условию, $\angle A$ на $20^\circ$ больше $\angle C$, что можно записать как $\angle A = \angle C + 20^\circ$. Составим и решим уравнение, подставив выражение для $\angle A$ в свойство вписанного четырехугольника:
$(\angle C + 20^\circ) + \angle C = 180^\circ$
$2\angle C + 20^\circ = 180^\circ$
$2\angle C = 180^\circ - 20^\circ$
$2\angle C = 160^\circ$
$\angle C = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ$.
Ответ: $80^\circ$.

б) Противолежащие углы $B$ и $D$ вписанного четырехугольника в сумме дают $180^\circ$: $\angle B + \angle D = 180^\circ$. По условию, $\angle B : \angle D = 2 : 3$. Обозначим одну часть за $x$, тогда $\angle B = 2x$ и $\angle D = 3x$. Подставим в уравнение:
$2x + 3x = 180^\circ$
$5x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$.
Требуется найти угол $D$:
$\angle D = 3x = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$.
Ответ: $108^\circ$.

в) Известно, что сумма углов $A$ и $C$ во вписанном четырехугольнике равна $180^\circ$: $\angle A + \angle C = 180^\circ$. По условию дано, что $\angle A + \angle B + \angle C = 284^\circ$. Перегруппируем слагаемые в данном выражении: $(\angle A + \angle C) + \angle B = 284^\circ$. Теперь подставим известную сумму углов $A$ и $C$:
$180^\circ + \angle B = 284^\circ$
Отсюда находим $\angle B$:
$\angle B = 284^\circ - 180^\circ$
$\angle B = 104^\circ$.
Ответ: $104^\circ$.

г) По условию, $\angle A : \angle B : \angle C = 3 : 5 : 6$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда $\angle A = 3x$, $\angle B = 5x$ и $\angle C = 6x$. Используем свойство противолежащих углов $A$ и $C$: $\angle A + \angle C = 180^\circ$.
$3x + 6x = 180^\circ$
$9x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$.
Теперь найдем величину угла $B$:
$\angle B = 5x = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$.
Чтобы найти $\angle D$, используем свойство для второй пары противолежащих углов, $B$ и $D$: $\angle B + \angle D = 180^\circ$.
$100^\circ + \angle D = 180^\circ$
$\angle D = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
Ответ: $80^\circ$.