Номер 127, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

127. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность.

а) Найдите $\angle BCD$, если $\angle BAC = 26^\circ$, $\angle CBD = 24^\circ$.

б) Найдите $\angle CAD$, если $\angle ABD = 34^\circ$, $\angle ADC = 116^\circ$.

а)

Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, то вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на дугу $CD$.

Следовательно, $\angle CAD = \angle CBD$. По условию $\angle CBD = 24^\circ$, значит, $\angle CAD = 24^\circ$.

Угол $\angle BAD$ состоит из двух углов: $\angle BAC$ и $\angle CAD$. Найдем его величину:
$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 26^\circ + 24^\circ = 50^\circ$.

Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$. Поэтому $\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$.
Отсюда выразим и найдем $\angle BCD$:
$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Ответ: $130^\circ$.

б)

Для вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$.

Используя данное по условию значение $\angle ADC = 116^\circ$, найдем угол $\angle ABC$:
$\angle ABC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.

Угол $\angle ABC$ является суммой углов $\angle ABD$ и $\angle CBD$, то есть $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$.
Подставим известные значения: $64^\circ = 34^\circ + \angle CBD$.
Отсюда найдем $\angle CBD$:
$\angle CBD = 64^\circ - 34^\circ = 30^\circ$.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на дугу $CD$, поэтому они равны.
Следовательно, $\angle CAD = \angle CBD = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.