Номер 130, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

130. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ $\angle A + \angle C = 180^\circ$. Докажите, что $\angle BAC = \angle BDC$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами вписанных четырехугольников.

Существует признак вписанного четырехугольника, который гласит: если сумма противолежащих углов четырехугольника равна $180^{\circ}$, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность.

По условию задачи, для выпуклого четырехугольника $ABCD$ выполняется равенство $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$. Из этого следует, что четырехугольник $ABCD$ является вписанным, то есть существует окружность, проходящая через все его четыре вершины $A, B, C$ и $D$.

Теперь рассмотрим углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$. Оба эти угла являются вписанными углами в этой окружности, поскольку их вершины ($A$ и $D$ соответственно) лежат на окружности, а их стороны пересекают окружность.

Вписанный угол $\angle BAC$ опирается на дугу $BC$.

Вписанный угол $\angle BDC$ также опирается на ту же самую дугу $BC$.

Согласно теореме о вписанных углах, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следовательно, $\angle BAC = \angle BDC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника $ABCD$ равна $180^{\circ}$, он является вписанным в окружность. Углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ являются вписанными углами, которые опираются на одну и ту же дугу $BC$, следовательно, они равны.